Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Розв’язання.




Читайте также:
  1. Розв’язання.
  2. Розв’язання.

.

Оскільки то випадкові події А і В є залежними.

3. Формули множення ймовірностей
для залежних випадкових подій

Згідно із (17) і (18) маємо:

Р (А В) = Р (В) Р (А / В) = Р (А) Р (В / А). (19)

Формула множення для n залежних випадкових подій А1,А2, … А4:

Р = Р (А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) … Р(Аn / А1А2Аn–1) (20)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей. Із них 9 стандартні, а решта — браковані. Деталі виймають по одній без повернення. Так було вийнято три деталі. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три деталі виявляться стандартними;

2) В — усі три виявляться бракованими;

3) С — дві стандартні й одна бракована.

Розв’язання. Нехай Аі — поява стандартної, — бракованої деталі при і-му вийманні.

Подія , ,

.

Оскільки випадкові події Аі, є залежними, то:

Р(А) = Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) = ;

.

.

Приклад 2. Із множини чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} навмання беруть одне число, а далі з решти — друге. Яка ймовірність того, що здобуте двоцифрове число буде парним?

Розв’язання. Позначимо через А1 — поява непарної цифри при першому вийманні, через В1 — поява парної цифри при першому, а через В2 — появу парної цифри при другому вийманні.

Нехай С — випадкова подія: поява парного двоцифрового числа.

Тоді С = (А1В2) È (В1В2).

Оскільки випадкові події А1, В1, В2 є залежними, то

Р (С) = Р (А1В2) È (В1В2) = Р(А1В2) + Р (В1В2) =

= Р (А1) Р (В2 / А1) + Р (В1) Р (В2 / В1) = .

4. Формули множення ймовірностей
для незалежних випадкових подій

Якщо випадкові події А і В є незалежними, то Р(А / В) = Р(А), Р(В / А) = Р(В).

Формули (19), (20) наберуть такого вигляду:

Р(АВ) = Р(А) Р(В); (21)

. (22)

Приклад 1. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому на грані кубика випаде число, кратне 3, а на монеті герб?

Розв’язання. Нехай поява числа, кратного трьом — подія А, а поява герба — подія В. Випадкові події А і В є між собою незалежними. Отже,

; .

Приклад 2. Три студенти складають на сесії екзамен з математики. Імовірність того, що перший складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність становить відповідно 0,8 і 0,7.



Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три студенти складуть екзамен;

2) В — три студенти не складуть екзамену;

3) С — два студенти складуть екзамен.

Розв’язання. Позначимо А1, А2, А3 — випадкові події, які полягають у тому, що перший, другий і третій студенти складуть екзамен з математики. Тоді — відповідно не складуть. За умовою задачі маємо:

Р(А1) = 0,9, Р(А2) = 0,8, Р(А3) = 0,7.

Тоді ймовірності протилежних подій такі:

Р( ) = 1 – Р(А1) = 1 – 0,9 = 0,1;

Р( ) = 1 – Р(А2) = 1 – 0,8 = 0,2;

Р( ) = 1 – Р(А3) = 1 – 0,7 = 0,3

Позначимо події: , ,

.

Оскільки випадкові події Аі, (і = 1, 2, 3) є між собою незалежними, то

Р(А) = Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2) Р(А3) = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504;

Р(В) = Р( ) = Р( ) Р( ) Р( ) = 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006;

.

5. Імовірність появи випадкової
події принаймні один раз при n
незалежних спробах

Нехай проводиться n незалежних спроб, у кожній з яких може відбутися подія Аі (і =1, 2, 3, ... n) з імовірністю Р(Аі) = pі або подія з імовірністю , .



Нехай С — поява події Аі хоча б один раз при n незалежних спробах, тобто ця подія може з’явитися або один раз, або двічі, тричі і так далі, включаючи всі n раз. Тоді подія С і подія, яка полягає в тому, що при n спробах Аі не з’явиться жодного разу , утворюють повну групу, а саме: . При цьому .

Тоді ;

.

Отже,

. (23)

Якщо Р(Аі) = pі = p = const, то qі = q = const.

Тоді

Р(С) = 1 – qn. (24)

Приклад 1. Прилад складається з чотирьох елементів, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,95. Для другого, третього і четвертого елементів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,9; 0,85; 0,8.

Яка ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу не вийде хоча б один елемент?

Розв’язання. Нехай p1 = 0,95 — імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу. Для другого, третього та четвертого елементів ця ймовірність становитиме відповідно p2 = 0,9; p3 = 0,85; p4 = 0,8. Імовірність того, що ці елементи вийдуть із ладу, дорівнюватиме відповідно:

q1 = 1 – p1 = 1 – 0,95 = 0,05;

q2 = 1 – p2 = 1 – 0,9 = 0,1;

q3 = 1 – p3 = 1 – 0,85 = 0,15;

q4 = 1 – p4 = 1 – 0,8 = 0,2.

На підставі (23) маємо:

Р(С) = 1 – q1 q2 q3 q4 = 1 – 0,05 × 0,1 × 0,15 × 0,2 = 1 – 0,00015 = 0,99985.

Приклад 2. Гральний кубик підкидається чотири рази. Чому дорівнює ймовірність того, що цифра 3 з’явиться при цьому хоча б один раз?

Розв’язання. Імовірність того, що при одному підкиданні з’явиться цифра 3, дорівнює . Тоді q = 1 – p = 1 – .

Згідно з (24) дістанемо:



Р(С) = 1 – q4 = .

6. Використання формул теорії
ймовірностей для оцінювання надійності
роботи простих систем

Оцінити надійність роботи системи, елементи якої з’єднані за схемою, наведеною на рис. 7.

Рис. 7

При цьому відомі ймовірності безвідмовної роботи кожного елемента pі (і = 1,…, n).

Позначивши надійність системи через R, дістанемо

. (25)

Оцінити надійність роботи системи, елементи якої з’єднані за схемою, наведеною на рис. 8.

Рис. 8

При цьому відомі ймовірності безвідмовної роботи кожного елемента рі (і = 1,…, n):

. (26)

Приклад. Електричні лампочки з’єднані за схемами, наведеними на рис. 9 і 10.

Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні в електромережу наведених схем, є величиною сталою і дорів­нює рі = 0,8.

Яка ймовірність того, що при ввімкненні в електромережу наведених схем у них буде електрострум?

Розв’язання. За відомим значенням рі знаходимо qі = 1 – рі = 1 – 0,8 =
= 0,2 (і = 1, 2, 3, 4).

а) R = ;

б) .


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 91; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.022 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты