Формула Байєса

Застосовуючи формулу множення ймовірностей для залежних випадкових подій А, В_і (і = ), дістаємо

Р(А) Р(В_і / А) = Р (В_і) Р(А / В_і) →

→ . (28)

Залежність (28) називається формулою Байєса. Її використовують для переоцінювання ймовірностей гіпотез В_і за умови, що випадкова подія А здійсниться.

Після переоцінювання всіх гіпотез В_і маємо:

.

Згідно з формулою Байєса можна прийняти рішення, провівши експеримент. Але для цього необхідно, аби вибір тієї чи іншої гіпотези мав ґрунтовні підстави, тобто щоб унаслідок проведення експерименту ймовірність Р(В_і / А) була близька до одиниці.

Приклад 1. Маємо три групи ящиків. До першої групи належить 5 ящиків, у кожному з яких 7 стандартних і 3 браковані однотипні вироби, до другої групи — 9 ящиків, у кожному з яких 5 стандартних і 5 бракованих виробів, а до третьої — 3 ящики, у кожному з яких 3 стандартні й 7 бракованих виробів. Із довільно вибраного ящика три навмання взяті вироби виявилися стандартними.

Яка ймовірність того, що вони були взяті з ящика, який належить третій групі?

Розв’язання. Позначимо В₁, В₂, В₃ гіпотези про те, що навмання вибраний ящик належить відповідно першій, другій або третій групі. Обчислимо ймовірності цих гіпотез. Оскільки всього за умовою задачі 17 ящиків, то

; Р(В₃) = .

Позначимо через А появу трьох стандартних виробів. Тоді відповідні умовні ймовірності:

.

За умовою задачі необхідно переоцінити ймовірність гіпотези В₃. Використовуючи формулу (28), маємо:

.

Приклад 2. На склад надходять однотипні вироби з чотирьох заводів: 15% — із заводу № 1, 25% — із заводу № 2; 40% — із заводу № 3 і 20% — із заводу № 4.

Під час контролю продукції, яка надходить на склад, установлено, що в середньому брак становить для заводу № 1 — 3%, заводу № 2 — 5%, заводу № 3 — 8% і заводу № 4 — 1%.

Навмання взятий виріб зі складу виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його виготовив завод №1?

Розв’язання. Позначимо В₁ гіпотезу проте, що виріб був виготовлений заводом № 1, В₂ — заводом № 2, В₃ — заводом № 3 і В₄ — заводом № 4. Ці гіпотези єдино можливі і несумісні. Нехай А — випадкова подія, що полягає в появі бракованого виробу.

За умовою задачі маємо:

Р(В₁) = 0,15, Р(В₂) = 0,25, Р(В₃) = 0,4, Р(В₄) = 0,2, Р(А/В₁) = 0,03, Р(А/В₂) = 0,05, Р(А/В₃) = 0,08, Р(А/В₄) = 0,01.

За формулою Байєса (28) переоцінюємо першу гіпотезу В₁:

= .

1. Випадкові події А і В називають залежними ...

2. Визначення умовної ймовірності.

3. В якому разі Р(А/В) = 0?

4. В якому разі Р(А/В) = 1?

5. Формула множення ймовірностей для двох залежних випадкових подій А і В має вигляд ...

6. Чому дорівнює , якщо випадкові події А_і є залежними?

7. Чому дорівнює Р(А∩В), якщо А і В є незалежними?

8. В якому разі Р(А/В) = Р(А), Р(В/А) = Р(В)?

9. Чому дорівнює , якщо випадкові події А і В є незалежними?

10. Формула для обчислення появи випадкової події хоча б один раз при n незалежних експериментах має вигляд ...

11. Гіпотези у формулі повної ймовірності та їх властивості.

12. Формула повної ймовірності випадкової події А за наявності n гіпотез В_і має вигляд ...

13. В якому разі використовується формула Байєса?

14. Для переоцінювання ймовірності В_і гіпотези формула Байєса має вигляд ...

15. В якому разі обирається гіпотеза В_і для прийняття рішення при проведенні експерименту?

16. Чому дорівнює , де В_і є гіпотези у формулі повної ймовірності?