Формула повної ймовірності

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умо-
ви, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В_і, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними , імовірність події А обчислюється за формулою

, (27)

яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події В₁, В₂, ... В_n називають гіпотезами.

Приклад 1. До складального цеху надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить 45% усіх деталей, від другого — 35% і від третього — 20%. Перший цех допускає в середньому 6% браку, другий — 2% і третій — 8%.

Яка ймовірність того, що до складального цеху надійде стандартна деталь?

Розв’язання. Позначимо через А появу стандартної деталі, В₁ — деталь надійде від першого цеху, В₂ — від другого, В₃ — від третього. За умовою задачі:

Р(В₁) = 0,45, Р(А / В₁) = 0,94;

Р(В₂) = 0,35, Р(А / В₂) = 0,98;

Р(В₃) = 0,2, Р(А / В₃) = 0,92.

Згідно з (27) маємо:

Р (А) = Р (В₁) Р (А / В₁) + Р (В₂) Р (А / В₂) + Р (В₃) Р (А / В₃) =
= 0,45 × 0,94 + 0,35 × 0,98 + 0,2 × 0,92 = 0,423 + 0,343 + 0,184 = 0,95.

Приклад 2. У ящику міститься 11 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта браковані. Із ящика навмання беруть три деталі й назад не повертають. Яка ймовірність після цього вийняти навмання з ящика стандартну деталь?

Розв’язання. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що з ящика вийнято навмання одну стандартну деталь після того, як з нього було взято три. Розглянемо такі події:

В₁ — було взято три стандартні деталі;

В₂ — дві стандартні і одну браковану;

В₃ — одну стандартну і дві браковані;

В₄ — три браковані.

Обчислимо ймовірності гіпотез, а також відповідні їм умовні ймовірності Р (А / В_і) (і = 1, 2, 3, 4).

Р (В₁) = , ;

, ;

, ;

, .

Згідно з (27) дістанемо:

Р(А) = Р(В₁) Р(А / В₁) + Р(В₂) Р(А / В₂) + Р(В₃) Р(А / В₃) + Р(В₄) Р(А / В₄) =

.

Оскільки ,

то .