Метод прямоугольников

Методические указания к теме 3.

Теоретические сведения. 2

1. Методы численного интегрирования. 2

1.1. Метод прямоугольников. 2

1.2. Метод трапеций. 4

1.3. Метод парабол (метод Симпсона). 4

2. Интерполирование функций. 5

2.1. Постановка задачи интерполяции. 5

2.2. Линейная интерполяция. 6

2.3. Квадратичная интерполяция. 8

2.4. Интерполирование функций средствами Excel. 9

Лабораторные работы.. 18

Лабораторная работа 1. 18

Лабораторная работа 2. 19

Таблица 2. Исходные данные для задачи интерполирования. 20

Теоретические сведения.

Методы численного интегрирования

Метод прямоугольников

Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подинтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подинтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется вычислить ее интеграл . Составим интегральную сумму для f(x) на сегменте [a,b] . Для этого разобьем сегмент [a,b] на n равных между собой частей с помощью точек: x₁, x₂, … , x_k, … , x_n-1.

Если длину каждой части мы обозначим через х, так что , то для каждой точки x_k будем иметь: (k=0, 1, 2, …, n).

Обозначим теперь через y_k значение подынтегральной функции f(x) при то есть положим (k=0, 1, …, n).

Тогда суммы будут интегральными для функции f(x) на отрезке [a,b]. (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.)

По определению интеграла имеем:

и

Поэтому в качестве приближенного значения естественно взять интегральную сумму ,т.е. положить:

а также

т.е (1)

и (1')

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x) 0, формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями и высотами: y₀, y₁, y₂, …, y_n-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y₁, y₂, y₃, …, y_n – в случае формулы (1') (рис.9).

Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (1') способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников.

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.