Постановка задачи интерполяции.

Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок [x₀;x_n], но не совпадает ни с одним из значений x_i (i=0,1,…,n).

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x) в точках x_i(i=0, 1, 2, …, n), т.е.

F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, …, F(x_n)=y_n. (1)

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки x₀, x₁, …, x_n – узлами интерполяции. Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i,y_i) (i=0,1,2,…,n) (рис. 1). В случае, если x [x₀, x_n] нахождение искомой функции называют экстраполяцией. В дальнейшем, под термином интерполяция будем понимать как первую, так и вторую операции.

Рис. 1

Задача интерполирования может иметь в общей постановке бесчисленное множество решений или совсем их не иметь. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать некоторую функцию конкретного вида, удовлетворяющую условиям (1).

Наиболее удобной в практическом использовании функцией является алгебраический многочлен степени n :

P_n(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n

Чтобы задать многочлен n-ой степени достаточно задать его n+1 коэффициент. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Поэтому алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения функций.

Ниже будут подробно изложены широко используемые в географических исследованиях случаи интерполяции линейной функцией (линейная интерполяция) и квадратичной функцией (квадратичная интерполяция). Подробно с методами интерполяции функции полиномами можно познакомиться в [13] .