Упрощенная матрица структурных коэффициентов в трехсекторной экономике

Статическая система межотраслевых связей. Баланс между совокупным выпуском и суммарными затратами продукции каждого сектора, показанный в нашем примере в таблицах 1.1 и 1.2, может быть описан следующей системой уравнений:

Подстановка уравнений (1.1) в уравнения (1.2) приводит к соотношениям общего равновесия между совокупными выпусками х1, х2, ..., хn всех производящих секторов и списком товаров у1, у2, ..., уn для сектора конечного спроса, потребляемых домашними хозяйствами, правительством, другими потребителями, входящими в этот сектор:

(1.3)

Если конечный спрос у1, у2, ..., уn, потребляемых домашними хозяйствами и всеми другими секторами, выпуски которых не представлены переменными, указанными в левой части системы уравнений (1.3), предполагается заданным, то эта система может быть решена и могут быть найдены величины n совокупных выпусков х₁, х₂, …, х_n.

Общее решение этих уравнений равновесия, представляющее «неизвестные» х в терминах заданных у, может быть записано в следующем виде:

(1.4)

Постоянные Аij показывают, насколько увеличится выпуск х_i сектора i при увеличении у_i, то есть количества товара j, потребляемого домашними хозяйствами (или любым другим потребителем этого сектора) на единицу. Такое увеличение будет воздействовать на сектор i как прямо, так и косвенно, если i=j; но когда i не равно/, влияние на выпуск х_i будет лишь косвенным, так как сектор i должен обеспечивать дополнительные затраты всех других секторов, которые в свою очередь должны прямо или косвенно обеспечивать увеличение поставки y_j, осуществляемой сектором j потребителям сектора конечного спроса (для конечного использования). С вычислительной точки зрения это означает, что величина каждого из коэффициентов А в «решении» (1.4) зависит, вообще говоря, от всех коэффициентов а, входящих в левую часть системы уравнений (1.3). На математическом языке матрица

постоянных коэффициентов, указанных в правой части решения (1.4), является обратной для матрицы

постоянных коэффициентов, входящих в левую часть уравнений (1.3). Выполняемые при нахождении такого решения вычисления называются обращением матрицы коэффициентов этих исходных уравнений.

Обратной матрицей для матрицы

основанной на табл. 1.3, является матрица

Подстановка ее в решение (1.4) даст два уравнения:

x₁ = 1,457×y₁ +0,6623×у₂

х₂ = 0,231×y₁ + 1.2417×y₂, (1.5)

которые позволяют нам определить величины x1 и х2 совокупных выпусков сельскохозяйственного и промышленного секторов, корреспондирующие с любой заданной комбинацией поставок их продуктов yi и у2 экзогенному сектору — домашним хозяйствам. Для проверки этого результата на основе сопоставления этих выпусков с корреспондирующими элементами табл. 1.1 положим у1=55 и у2 =30 для величин в правых частях двух уравнений (1.5). Эти уравнения приводят к x1=100 и х2 = 50.

Только в том случае, если все элементы Аij обратной матрицы неотрицательны, для любого заданного множества конечных поставок у1, у2, …, yn всегда существует комбинация положительных совокупных выпусков x1, ... , xn, способных обеспечить эти поставки. Достаточным условием выполнения этого требования является положительность определителя матрицы

и всех ее главных подматриц[3],

Если это так называемое условие Хаукинса — Саймона выполняется для одной произвольно пронумерованной последовательности секторов, оно необходимо выполняется также для любой другой последовательности. Материальная интерпретация этого условия состоит в том, что если экономическая система, в которой каждый сектор функционирует, непосредственно или косвенно потребляя продукцию других секторов, должна быть способна не только обеспечивать саму себя, но и осуществлять положительные поставки для конечного спроса, то и любая из ее подсистем должна быть способна осуществлять то же самое. Если хотя бы одна из подсистем не может удовлетворить этому тесту, она неизбежно вызывает утечку, которая нарушит способность самоподдержки всей системы[4].

Более простое достаточное, но не необходимое условие способности к самоподдержке экономики состоит в требовании, чтобы сумма коэффициентов каждого столбца структурной матрицы была не больше единицы и по крайней мере одна из столбцовых сумм была строго меньше единицы.

В большинстве случаев, когда структурная матрица для национальной экономики получается на основе фактических стоимостных потоков, например тех, что представлены в табл. 1.2, вышеуказанное условие выполняется.

Так как в открытой системе межотраслевых связей домашние хозяйства считаются сектором конечного спроса, то есть экзогенным сектором, его совокупный продукт х_n+1, то есть совокупная занятость, обычно не рассматривается в качестве неизвестной величины в левой части системы (1.3) и правой части ее решения (1.4). После определения величин выпусков эндогенных секторов x₁, x₂, ... , х_n общая занятость может быть вычислена на основе следующего уравнения:

х_n+1 = a_n+1,1×x₁, + a_n+1,2×x₂ + … + a_n+1,n×х_n + y_n+1. (1.6)

Технологические коэффициенты a_n+1,1, a_n+1,2, … a_n+1,n представляют затраты труда, поглощаемого различными производствами (секторами) на единицу их выпуска; y_n+1 — совокупная величина труда, используемого непосредственно домашними хозяйствами и другими экзогенными секторами. Такое уравнение занятости, выписанное для трехсекторной системы со структурной матрицей (см. табл. 1.3) есть

x₃ = 0,8×x₁ + 3,6×x₂ + y₃. (1.7)

Домашние хозяйства не обязательно рассматривать как часть экзогенных секторов, каковыми они являются в использованных выше примерах. При анализе проблем формирования дохода и его связи с занятостью количество потребительских товаров и услуг, поглощаемых домашними хозяйствами, можно рассматривать как структурно зависящее от уровня общей занятости аналогично тому, как количество кокса и железной руды, поглощаемое доменными печами, рассматривается как структурно зависящее от количества чугуна, производимого ими. Когда домашние хозяйства сдвигаются в левую часть уравнений (1.2) и (1.3), экзогенный конечный спрос, представленный в их правой части, составляют лишь такие статьи, как правительственные закупки, экспорт, увеличение или уменьшение запасов товаров, которые являются фактическими инвестициями или дезинвестициями.

В том случае, когда все секторы и все закупки рассматриваются как эндогенные, система межотраслевых связей называется замкнутой. Статическая система не может быть действительно замкнутой, так как эндогенное объяснение инвестиций или дезинвестиций требует рассмотрения структурных взаимосвязей между затратами и выпуском, которые имеют место в различные периоды времени (см. ниже раздел «Динамический межотраслевой анализ»).

Экспорт и импорт. В межотраслевом балансе для страны или региона, осуществляющих торговлю с зарубежными странами, экспорт может быть представлен положительными, а импорт — отрицательными компонентами конечного спроса. Если экономика, описанная в табл. 1.1, перестает быть самообеспечивающейся и начинает импортировать, скажем, 20 бушелей пшеницы и экспортировать 8 ярдов ткани — в то время как домашние хозяйства потребляют те же количества обоих продуктов, что и ранее, — будет установлен новый баланс между всеми затратами и выпусками, как это описано в табл. 1.4.

ТАБЛИЦА 1.4

Коэффициенты затрат эндогенных секторов и, следовательно, структурная матрица системы и ее обратная матрица остаются такими же, как и ранее. Чтобы сформировать новый столбец конечного спроса, мы должны добавить к величине каждого товара, поглощенного домашними хозяйствами, то его количество, которое было экспортировано, и вычесть импортируемое количество (то есть импорт рассматривается как отрицательный экспорт);

y₁ = х_1,n+1 +e₁,

y₂ = х_2,n+1 +e₂,

…….. (1.8)

y_n = х_n,n+1 +e_n.

Соответствующие выпуски секторов можно тогда получить на основе общего решения (1.4). В нашем числовом примере мы можем использовать непосредственно уравнения (1.5). Совокупный спрос экономики на труд — 300 человеко-лет — остается в данном случае неизменным после того, как она вовлекается во внешнюю торговлю, поскольку совокупные прямые и косвенные затраты труда на производство 20 бушелей импортируемой пшеницы оказываются равными количеству труда, содержащемуся в 8 ярдах экспортируемой ткани.

Если импорт товара i, то есть отрицательная величина e_i, окажется больше конечного внутреннего потребления этого товара x_in, соответствующий «чистый» конечный спрос у_i; окажется отрицательным. Когда y_i уменьшается, валовой выпуск всех секторов, и особенно валовой выпуск х_i, должен (как следствие) уменьшаться. В какой-то момент этот выпуск достигнет нуля, что означает, что весь прямой и косвенный спрос на этот товар будет покрываться за счет импорта. Соответствующая национальная отрасль производства автоматически исчезает из эндогенной части таблицы межотраслевого баланса. Импорт товаров называется неконкурентным, когда — как в случае кофе и ряда полезных ископаемых — даже значительное возрастание спроса не приводит к возникновению их производства в стране. Величину совокупного внутреннего спроса на товары неконкурентного импорта можно вычислить аналогично тому, как совокупный спрос на рабочую силу может быть получен на основе уравнения (1.6).

Цены в открытой статической системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы выпуска соответствующего производственного сектора должна быть равна совокупным издержкам в процессе производства этой продукции (в расчете на единицу выпуска). В эти издержки входит не только оплата затрачиваемых ресурсов, покупаемых у того же самого сектора и других секторов, но и добавленная стоимость, которая представляет собой в основном платежи экзогенным секторам:

(1.9)

Каждое из этих уравнений описывает баланс между ценой, полученной каждым эндогенным сектором за единицу его выпуска, и произведенными при этом платежами; v_i представляют платежи сектора i всем экзогенным секторам (секторам конечного спроса) в расчете на единицу его продукции. Эти платежи состоят обычно из зарплаты, процента на капитал и предпринимательской прибыли, записываемой на кредит домашних хозяйств, налогов, выплачиваемых правительству и другим секторам конечного спроса.

По аналогии с решением (1.4) системы уравнений для выпусков (1.3) решение системы уравнений для цен (1.9) позволяет определить цены всех продуктов на основе заданных величин добавленных стоимостей (на единицу выпуска) в каждом секторе:

(1.10)

Постоянные А_ij измеряют зависимость цены p_j продукции сектора j от добавленной стоимости n_i, полученной в секторе i в расчете на единицу продукции этого сектора.

Каждая строка коэффициентов а_ij, участвующая в формировании системы уравнений для выпусков (1.3), образует соответствующий столбец коэффициентов, участвующих в формировании системы уравнений для цен (1.9); каждой строке коэффициентов A_ij системы уравнений (1.4) для вычисления величины выпуска продукции соответствует столбец коэффициентов системы уравнений (1.10) для вычисления величины цен.

Таким образом, подставляя обратную матрицу примера, использованного ранее, в систему (1.10) для расчета величины цен, получим:

(1.11)

Из табл. 1.2 и 1.3 можно видеть, что в нашем примере добавленная стоимость, выплаченная в сельском хозяйстве и промышленности (то есть зарплата), в расчете на единицу выпуска составляет 0,8 доллара и 3,6 доллара соответственно. В соответствии с приведенными выше двумя уравнениями это дает p₁ = 2 долларам, p₂ = 5 долларам, что составляет цены на сельскохозяйственную и промышленную продукцию, используемые при расчете стоимостных показателей, представленных в табл. 1.2 на основе табл. 1.1, которая описывает межотраслевые потоки в физических показателях.

Внутреннее единство стоимостных и физических взаимосвязей в рамках открытой системы межотраслевых связей подтверждается следующим тождеством, полученным на основе уравнений (1.4) и (1.9):

(1.12)

В левой части соотношения находится общая сумма добавленных стоимостей, выплаченная эндогенными секторами системы экзогенным секторам; в правой части — сумма стоимостей продуктов, доставленных всеми экзогенными секторами секторам конечного спроса (экзогенным секторам). Другими словами, это тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода, как это проиллюстрировано в табл. 1.2.

В целях проведения более детального анализа цен технологический «рецепт приготовления», скажем, тонны хлеба должен не только указывать требуемое количество текущих затрат, таких, как мука, молоко и дрожжи, но и перечислять необходимые горшки и сковородки, а также другие типы требуемых для этой цат капитальных благ. Таким образом, матрица А коэффициентов технологических потоков должна быть дополнена соответствующей матрицей В коэффициентов запаса капитала:

B = .

Капитальный коэффициент b_ij представляет определяемый технологией запас особого типа благ — машин, механических инструментов, промышленных зданий и сооружений, «рабочих запасов» первичных и промежуточных материалов, производимых отраслью i, который используется в отрасли j для производства единицы ее продукции. Другими словами, каждый столбец матрицы В описывает потребность в физическом капитале в некоторой отрасли (в расчете на единицу ее валового выпуска) таким же образом, как соответствующий столбец матрицы А описывает ее текущие затраты.

Описанная выше система цен может быть развита дальше путем разделения величин добавленной стоимости, показанных в правой части системы уравнений (1.9), на две части: доход от капитала, вложенного в здания, сооружения, оборудование и другие запасы благ, необходимые для производства рассматриваемой продукции, с одной стороны, и зарплату — с другой. Доход от капитала можно представить как стоимость (цену, умноженную на количество) всех производственных запасов (в расчете на единицу ее выпуска) в каждой отрасли, помноженную на заданную норму прибыли.

Взаимосвязь между ставками зарплаты, нормами прибыли на капитал (то есть «ценой» капитала) и ценой различных товаров и услуг принимает следующую форму[5]:

(1.13)

где W — вектор-столбец издержек на зарплату, выплачиваемых в различных отраслях в расчете на единицу их выпуска.

Подстановка в уравнение (1.13) числовых значений матрицы А потоковых коэффициентов, как, например, матрицы, заданной в табл. 1.3, матрицы капитальных коэффициентов В и обращение выражения в скобках в правой части дают явное решение этого уравнения при различных значениях нормы прибыли r на капитал.

Например:

если r =10%, то

p1 = 1,55w1 + 0,26w2, р2 = 0,76×w1 + 1,34×w2;

если r = 20%, то

p1 = 1,65w1 + 0,30×w2, р2 = 0,87w1 +1,45w2.

Величины всех числовых параметров возрастают при увеличении r от 10 до 20%. Это означает, что при заданных издержках на зарплату w1 и w2 возрастание нормы прибыли, то есть издержек на капитал, должно очевидным образом приводить к более высоким ценам p1 и р2. А при увеличении цен покупательная способность номинальной зарплаты (то есть реальная зарплата) должна обязательно упасть.