Динамический межотраслевой анализ

Следующее множество линейных разностных уравнений представляет динамические соотношения межотраслевых связей, используемые в описании и анализе процесса экономического роста:

X(t) - A× X(t) + B×[ X(t+1) – X(t)] = Y(t

X(t) - A× X(t) – B×[ X(t+1) – X(t)] = Y(t). (1.14)

Векторы-столбцы X(t) и X(t+1) представляют уровни выпуска различных отраслей в периоды времени t и t+ 1, вектор-столбец Y(t) представляет количество различных товаров и услуг, доставляемых в году t этими производящими секторами домашним хозяйствам и другим секторам конечного спроса. А — матрица коэффициентов затрат, В - матрица капитальных коэффициентов, описанных выше.

Балансовое соотношение, описываемое уравнением (1.14), основано на предположении, что товар, добавленный к запасу капитала в году t, используется в году t+l.

В замкнутой версии динамической системы секторы конечного спроса описываются как поглощающие, подобно обычным отраслям, продукцию, производимую другими секторами, и выпускающие продукцию — например рабочую силу, — которую они в свою очередь поставляют другим секторам. Коэффициенты потоков и капитальные коэффициенты, отражающие структуру домашних хозяйств, правительства и других секторов конечного спроса, появляются в замкнутой динамической модели в левой части динамических уравнений вместе с другими отраслями, и таким образом вектор-столбец Y(t) в правой части становится равным нулю, а его содержание переносится в левую часть.

Приравнивая нулю определитель характеристической матрицы [E - А - В], возникающий в результате решения однородной системы линейных разностных уравнений, мы можем определить значения n ее характеристических корней (l₁, l₂,..., l_n). В соответствии с так называемой теоремой Фробениуса наибольший из этих корней обязан быть простым и положительным; положительными являются также элементы соответствующего ему характеристического (собственного) вектора.

Величина 1/l_max, обратная этому корню, обозначает темп, с которым замкнутая экономика, описываемая системой динамических уравнений, будет расширяться, тогда как относительные величины элементов собственного вектора, соответствующего этому корню s представляющего относительный уровень выпусков секторов (включая «выпуск» рабочей силы, производимый домашними хозяйствами), должны будут равномерно увеличиваться от года к голу. Система разностных уравнений, устанавливающая динамическую взаимосвязь между ценами, должна включать вместе с другими элементами издержек платежи по проценту на капитал, вложенный в каждую отрасль. «Реальная» норма процента, то есть денежная норма, учитывающая изменения в общем уровне цен, оказывается равной темпу роста экономики 1/l_max.

Экономика, описанная в следующем числовом примере, имеет потоковую матрицу, приведенную в табл. 1.2. Требуемый капитал ее трех секторов характеризуется следующей матрицей коэффициентов:

Правый столбец коэффициентов, описывающий структуру капитала сектора домашних хозяйств, соответствует нормальному запасу сельскохозяйственных продуктов в семейных кладовых и текстильной продукции в гардеробах.

В отличие от сельскохозяйственной и промышленной продукции, произведенной первыми двумя секторами, рабочая сила, предлагаемая третьим, не может быть запасена и, следовательно, в соответствии с используемыми определениями не может быть частью любой структуры капитала. Последняя строка матрицы В, следовательно, содержит только нули. Это означает, что матрица В является особенной и не имеет обратной.

Поскольку только две отрасли вносят вклад в формирование капитала (фондов), уравнение (1.14) можно преобразовать (выражая величину третьей переменной через две другие на основе третьего уравнения) в систему, содержащую только два линейных разностных уравнения в той же форме, что и в общем случае. Ее два корня являются в то же время и корнями первоначальной системы. В нашем примере они оказываются равными 0,39252 и 24,981.

Соответствующие собственные векторы первоначальной системы трех уравнений имеют вид:

;

Обратная величина большего из двух корней составляет 1/24,81 = 0,04003. Это означает, что экономика в целом, то есть все ее три сектора, может расширяться с темпом 4% в год и что уровни ее выпусков будут в каждом году пропорциональны трем элементам характеристического вектора, соответствующего этому корню.

Потенциальный темп роста, вычисленный как обратная величина, гораздо меньшая второго корня, будет гораздо больше. Однако, так как некоторые элементы соответствующего характеристического вектора имеют разные знаки, выпуск ряда секторов станет с течением времени отрицательным, что, конечно, физически невозможно.

Проверка, основанная на эмпирически наблюдаемых множествах потоковых и капитальных коэффициентов, показала, что в экономике как США, так и Японии относительные уровни выпусков различных секторов ненамного отклоняются от величин, вычисленных на основе соответствующих динамических моделей. Тем не менее в большинстве практических применений замкнутая версия динамической модели оказалась слишком жесткой и детерминистской; поэтому межотраслевой анализ обычно проводится в терминах открытой версии динамической модели, описываемой уравнением (1.14). Конечный набор товаров Y(t) ряда последующих лет рассматривается в этом случае как заданный, то есть предписанный или прогнозируемый на основе экзогенной информации или предположений. В этом случае вектор Х(0) описывает уровень валовых выпусков всех производственных секторов в базовом году 0. Уровни выпусков последующих лет можно определить на основе рекурсивных вычислений в соответствии с уравнением (1.14), представленным в следующей форме:

X(1) = B^-1×[(E – A –B)×X(0) – Y(0)]. (1.15)

Следующий простой пример открытой динамической модели межотраслевого баланса основан на информации, содержащейся в коэффициентах матриц А и В, используемых в приведенном выше примере замкнутой системы. Так как, в этом случае, вектор конечного спроса рассматривается как заданный, структурные связи между выпуском и затратами сектора домашних хозяйств, если они существуют, рассматриваются как неизвестные. Во внимание должны приниматься только обратные связи между сельскохозяйственным и промышленным секторами. Соответственно то, что может быть названо динамическим ядром системы, должно решаться сведением его только к двум уравнениям. После подстановки соответствующим образом редуцированных матриц А и В в уравнение (1.15), начиная с данного Х(0) и используя на последующих этапах вычислений определенные вне системы вектора конечного спроса Y(0), Y(1) и так далее, можно вычислить шаг за шагом уровни выпусков (и капиталовложений) обоих секторов для всех последующих лет. Соответствующие уровни занятости определяются на основе отдельных вычислений при использовании коэффициентов затрат, взятых из табл. 1.2. Некоторые результаты вычислений приведены в табл. 1.5[6].

ТАБЛИЦА 1.5