Метод крутого восхождения при поиске оптимизации

Из целого ряда градиентных методов наиболее широкое приме­нение получил метод "крутого восхождения", предложенный Боксом и Уилсоном в 1951 году. Этот метод определяет стратегию последователь­ного пошагового проведения экспериментов, при котором весь цикл ис­следований разбивается на отдельные этапы. Причем на каждом после­дующем этапе используются результаты предыдущего.

Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функ­ции в ряд, частные производные функции по факторам равны по величи­не и знаку соответствующим коэффициентам линейного уравнения рег­рессии.

Следовательно,

grad у = b1 • i + Ь₂ * j + • • • + b_k • k bi=∂y/∂xi

Рассмотрим формализованную процедуру крутого восхождения с численным примером.

В начале необходимо иметь линейную модель, построенную по результатам эксперимента, и знать интервалы варьирования и нулевой уровень факторов.

Дано: адекватная линейная модель в кодовых переменных:

h = 41 + 10х1+ 6х₂ - 5х₃ - 4х₄ .

Известно, что х4 является качественным фактором (например, конструкцией узла) и наилучшие результаты дает конструкция с кодовым значением ^«-1". При крутом восхождении это значение качественного фактора фиксируется и модель приобретает вид h = 45 + 10х1 + 6х₂ - Зх₃ .

Если оба уровня качественного фактора дают близкие результа­ты, то крутое восхождение повторяется на двух уровнях. Интервалы варьирования факторов в натуральных переменных:

∆Х1 = ±0,15; ∆х₂ = ±100; ∆х₃ = ±50;

нулевой уровень факторов:

Хо,1 = 0,4; х₀,₂ = 840; х₀,₃ = 60.

1. Выбор базового фактора.

В качестве базового рекомендуется выбирать фактор с наиболь­шей абсолютной величиной коэффициента линейной модели или фактор с наибольшим интервалом варьирования. Пример.

Выбираем в качестве базового фактор х_2/ так как

|b1| > |Ь₂| > |Ь₃| и Ах₂ > ∆х₃ > ∆X1

2. Выбор шага базисного фактора.

Величины шагов движения по факторным осям должны быть больше ошибки, с которой фиксируется фактор. Малый шаг увеличивает количество опытов, а слишком большой - может привести к проскоку экстремума.

Обычно шаг Pj выбирают в долях и интервала варьирования фактора:

Pj=μ*∆xj

где 0 < μ < 1.

Пример.

Р₆ = Р₂ = 0,2-100 = 20.

3. Расчет шагов для остальных факторов выполняем по формуле

где индекс "6" относится к базовому фактору.

Пример.

Pj=P6*(bj*∆Xj/b6*∆X6

Где индекс 6 относится к базовому фактору.

Пример

P1=20*(10*0.15/6*100)=0.15 P3=20*(-3)*50/6*100=-5

При необходимости шаги можно для удобства счета округлять.

4. Выбор начала движения по градиенту.

За начало движения по градиенту функции отклика можно брать любую точку поверхности отклика. Обычно используют центр экспери­мента (основной или нулевой уровень каждого фактора). Но если есть предположение о наличии экстремума в некоторой точке, то эту точку нужно брать в вилку.

Пример: в качестве начала движения выбираем основной уровень.

5. Расчет величин факторов для первого шага:

Xj=Xjo+n*Pj

где n - порядковый номер шага.

Пример. X1 = 0,4 + 1*0,05 = 0,45; х₂ = 840 + 1*20 = 860; х₃ = 60 + 1*(-5) = 55.

6. Перевод натуральных значений факторов для первого шага
движения в кодовые.

Xj=(Xj-Xjo)/∆Xj

где Xj - натуральное значение фактора.

Пример.

X1=(0.45-04)/0.15=0,33 X2=(860-840)/100=0.2 X3=(55-60)/50=-0.1

7. Расчет выходе в первом мысленном опыте,
Пример,

у₉ = 45 + 10*0,33 + 6*0,2 - З-(0,1) = 49,2

9. Повторить этапы 5, 6, 7. Результаты сведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1 Реализация овальных и мысленных экспериментов

После каждых одного-трех мысленных опытов следует ставить один реальный с тем же шагом для проверки. Обнаружив оптимум, необ­ходимо поставить один или два (с двух сторон от экстремума) реальных опыта для подтверждения наличия оптимума. В процессе движения по градиенту экстремум может быть как внутри интервалов варьирования факторов, так и вне их, т.е. допускается некоторая экстраполяция экспе­риментальной области

Если один из факторов при движении по градиенту достиг своих физических пределов и дальше изменяться не может, то необходимо, фиксировав его из этом предельном уровне, двигаться, меняя оставшие­ся факторы.

Крутое восхождение прекращают, если найден оптимум или если ограничения по факторам делают движение по градиенту нефизичным (нереальным).

Следует иметь в виду, что, сокращая общее число опытов для достижения экстремума, метод крутого восхождения не позволяет обна­ружить экстремум одними мысленными опытами (уравнение регрессии линейно); он указывает лишь на кратчайший путь к оптимуму.