Экспоненциальный закон распределения и закон распределения Вейбулла, их использование в теории надежности.

Экспоненциальный закон распределения наиболее широко используется в качестве вероятностной модели для времени безотказной работы и времени восстановления.

f(t)=le^-lt, F(t)=1-e^-lt, где l-параметр.

Числовые характеристики:

M[t]=1/l-математическое ожидание; D=1/l²-дисперсия; s=1/l–среднее квадратическое отклонение ; v=1-коэффицтент вариации.

Широкое использование экспоненциального закона обусловлено рядом причин. Для ИВС в большей или меньшей мере характерно наличие трех периодов эксплуатации: приработка, нормальная эксплуатация и старение или износ (рис 1.1 а).

Экспоненциальный закон является однопараметрическим законом и для его задания достаточно иметь минимум информации об устройстве: его наработку на отказ и среднее время восстановления:

Для экспоненциального закона распределения условная вероятность безотказной работы на отрезке времени от t до t+Dt, при условии, что до момента t отказа не произошло равна

зависит только от длительности интервала Dt и не зависит от времени t, от того сколько устройство уже проработало.

Предыдущую формулу можно разложить в ряд

.

Для высоконадежных ИВС lt<<1 и в расчетах можно ограничиться первыми двумя слагаемыми, тогда приближенно получим

P(t)»1-lt; Q(t)»lt

В случаях, когда имеется информация о том, что время безотказной работы подчиняется другим законам распределения, следует стараться использовать более точные математические модели.

Закон распределения Вейбулла представляет собой распределение наименьшей величины из большого числа независимых одинаково распределенных величин. Физически этому закону соответствует случай, когда устройство состоит из большого числа однотипных элементов и отказ устройства наступает при первом отказе любого из них:

, где a - временной параметр масштаба; a=1/a- частотный параметр масштаба; b - параметр формы.

Числовые характеристики

M[t]=ag₁(b); s=ag₂(b); v=g₂(b)/ g₁(b),

где g₁(b)=G(1+1/b); g₂(b)= -гамма-функция.

В зависимости от величины коэффициента формы b этот закон изменяет свой вид, что позволяет описывать внезапные, износовые и приработочные отказы. При b=1 закон Вейбулла обращается в экспоненциальный закон, описывающий внезапные отказы; при b>1 он описывает процессы износа и старения, у которых интенсивность отказов со временем возрастают; при b<1 - описывает процесс приработки, у которого интенсивность отказов убывает (см. рис. 1.1. б).

Закон распределения Вейбулла – двухпараметрический закон, наиболее полно отражает физический смысл процессов возникновения отказов сложных устройств и как правило дает достаточно точную математическую форму описания этих процессов. Он является обобщением экспоненциального закона на случай переменной интенсивности отказов. Кроме того этот закон позволяет, увеличивая число параметров, осуществить дальнейшие обобщение описания процессов возникновения отказов на случай, когда устройство состоит из разных элементов или в одних и тех же элементах имеет место разные типы отказов (внезапные, износовые, старения, приработочные).

Обобщая этот подход для закона распределения Вейбулла, можно получить общее выражение для произвольного числа параметров:

где a1,a2,a3, b1,b2,...-параметры закона распределения.