Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между двумя множествами и изображение их при помощи кругов Эйлера

Множество – это основное неопределяемое понятие в математике.

– это группа объектов как единое целое.

Обозначение: A, B, C, D, E, …

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается Ø.

N – мн. натуральных ч.

Z – мн. целых ч.

Q – мн. рациональных ч.

J – мн. иррациональных ч.

R – мн. действительных ч.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества.

Обозначение: a, b, c, d, e, …

a A

b B

Множества бывают конечные и бесконечные.

Способы задания множеств.

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Способы:

1.Перечисление всех его элементов

А = {а, я, у, ю, е, ё, о, и, э, ы}

2.Использую характеристическое свойство.

Характеристическое свойство – такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

В – множество двузначных чисел.

С = {x / x N; 3 ≤ x < 7}

Отношения между множествами.

Если множества А и В имеют общие элементы, то эти множества пересекаются.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то эти множества не пересекаются.

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. В с А

Любое пустое множество является подмножеством для любого множества. Ø с А

Любое множество является подмножеством самого себя. А с А

Множества А и В называют равными, если А является подмножеством В, а В является подмножеством А. Равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества несущественен.

А = {0; 1; 4; 8} B = {4; 1; 0; 8} А = В

2. Операции над множествами: пересечение, объединение. Основные законы этих операций

Пересечение множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

А ᴖ В = {х / х А и х В}

1) А ᴖ В = Ø

2) В с А => А ᴖ В = В

Если множества заданы перечислением элементов, то достаточно перечислить их общие элементы.

Характеристическое свойство множества А ᴖ В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Свойства (ко 2 и 3 вопросу):

1.Коммуникативный закон

Для любых двух множеств А и В справедливо равенство

- А ᴖ В = В ᴖ А - А ᴗ В = В ᴗ А

Доказательство: Доказательство:

А = { } А = { }

В = { } В = { }

А ᴖ В = { } А ᴗ В = { }

В ᴖ А = { } => А ᴖ В = В ᴖ А В ᴗ А = { } =>А ᴗ В = В ᴗ А

2.Ассоциативный закон

Для любых трех множеств А, В и С справедливо равенство

- (А ᴖ В) ᴖ С = А ᴖ (В ᴖ С) - (А ᴗ В) ᴗ С = А ᴗ (В ᴗ С)

3.Дистрибутивный закон

- пересечения относительно объединения - объединения относительно пересечения

(А ᴗ В) ᴖ С = (А ᴖ С) ᴗ (В ᴖ С) (А ᴖ В) ᴗ С = (А ᴗ С) ᴖ (В ᴗ С)

Объединение множеств А и В называется множество, содержащие те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В.

А ᴗ В = {х / х А или х В}

1) А ᴗ Ø = А

2) В с А => А ᴗ В = А

Если множество, заданное перечислением его элементов, то чтобы получить объединение множеств надо перечислить элементы множества А и добавит из В недостающие элементы.

Если множества заданы указанием характеристического свойства, то используется союз «или».

3. Операции над множествами: разность множеств, дополнение к подмножеству, декартово произведение. Законы этих операций

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

А\В = {х / х А, х В}

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В, при условии, что В является подмножеством множества А.

В^/_А = {х / х А, х В}, В с А

Законы:

1) (А\В)\С = (А\С)\В

2) (АᴗВ)\С = (А\С)ᴗ(В\С)

3) (А\В)ᴖС = (АᴖС)\(ВᴖС)

4) А\(ВᴗС) = (А\В)ᴖ(А\С)

5) А\(ВᴖС) = (А\В)ᴗ(А\С)

Порядок выполнения действий с множествами:

1-скобки

2-пересечение

3-объединение или разность

Доказательства законов с помощью кругов Эйлера.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар 1-ая компонента которых принадлежит множеству А, а 2-ая – множеству В.

А×В = {(х;у) (х А;у В)}

Способы задания декартово выражения

1.Перечисление пар

А×В = {(m;e), (m;f), (m;k), …}

2.Указанием характеристического свойства

3.Табличный

4.При помощи графа

5.Графический

1)А = {2;3;5} , B = {4;7} 2)A = {2;3;5} , B = [4;7]

3) Оба множества заданы интервалами 4) Множество А задано несколькими А = [2;5) , B = (4;7] элементами A = {2;4;5} , B = R

5) Множество А – интервал, множество В = R 6)A = R, B = R

A = [2;5), B = R

Свойства:

1⁰ А×В = В×А

А×В = {(х;у) (х А;у В)} коммуникативный закон

В×А = {(х;у) (х В;у А)} => не выполняется

2⁰(А×В)×С = А×(В×С) => ассоциативный закон не выполняется

3⁰Дистрибутивный закон декартово произведение относительно объединения

(АᴗВ)×С=(А×С)ᴗ(В×С)

А = {а; б; в} В = {г; д} С = {е}

АᴗВ = {а; б; в; г; д}

(АᴗВ)×С = {(а;е), (б;е), (в;е), (г;е), (д;е)}

А×С = {(а;е), (б;е), (в;е)} одинаковые

В×С = {(г;е), (д;е)} верно

(А×С)ᴗ(В×С) = {(а;е), (б;е), (в;е), (г;е), (д;е)}

Дистрибутивный закон декартово произведение относительно вычитания

(А\В)×С=(А×С)\(В×С)

А = {1; 2; 3; 4} B = {3; 4; 6} C = {6}

A\B = {1; 2}

(А\В)×С = {(1;6), (2;6)}

(А×С)\(В×С) = {(1;6), (2;6), (3;6), (4;6)}\{(3;6), (4;6), (6;6)}

(А×С)\(В×С) = {(1;6), (2;6)}

закон верный