Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq. b – делитель числа а; а – кратное числа b.

а : b < = > (Ǝq N) a = bq

1 – делитель любого натурального числа

Делитель b данного числа а не превышает этого числа.

а : b = > b ≤ a

Доказательство:

a : b < = > (Ǝ q N) a = bq

q ≥ 1 a – b = bq – b

a – b = b * (q - 1)

a – b ≥ 0

a ≥ b

Простым числом называется такое натуральное число, больше 1, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только 1 делитель.

Свойства делимости:

тельное число, то равенство а = с*р означает, что а:с. Теорема доказана.

Признак делимости суммы. Если каждое слагаемое делится на натуральное число n, то и их сумма делится на это число.

Признак делимости разности. Если числа а и b делятся на n и а ≥ b, то а – b делится на n.

Признак делимости произведения. Если один из множителей произведения делится на натуральное число n, то и все произведение делится на n.

Признаки делимости на 2, 5, 10.

Признак делимости на 2. Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 5. Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Признак делимости на 10. Для того чтобы число х делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0.