Признаки делимости на 4, 11, 25.

Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно чтобы на 4 делалось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.

Признаки делимости на 3, 6, 9.

Для того, чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.

Для того чтобы число делилось на составное число n, равное произведению b и с, где b и с взаимно простые числа, необходимо и достаточно, чтобы это число х делилось на b и на с.

Для того, чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.

Понятие дроби и положительного рационального числа. Упорядоченность множества положительных рациональных чисел. Определение арифметических действий над положительными рациональными числами

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде m/n * E, где символ m/n называют дробью.

m N m - числитель

n N n – знаменатель

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю.

Определение равных дробей m/n = p/q < = > mq = np

Равенство дробей является отношением эквивалентности

Доказательство: равенство дробей:

- рефлексивно:

- симметрично:

- транзитивно:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

А – множество дробей

R: «быть равными» - эквивалентно = > разбиение множества на попарно непересекающиеся классы равных дробей.

Положительное рациональное число – это класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись данного числа.

Действия: сложение, вычитание, умножение, деление.

Свойства Q₊

Пусть а и b – положительные рациональные числа, считают, что число а > b, если Существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.

a > b < = > (Ǝ c Q₊) а = b + с

1. антисимметричность отношение Q₊

транзитивность порядка упорядоченное

2. В множестве Q₊ нет наименьшего числа

m/n > m/n+1

m*(n+1) > mn противоречит условию

mn+m > mn

3. В множестве Q₊ нет наибольшего числа

4. Между любыми двумя различными числами а и b из множества Q₊ заключено бесконечно много чисел этого же множества = > Q₊ - плотное