Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигур. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Нахождение площади прямоугольника

Каждый представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли. Так же понимает если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат.

Это обыденное представление о площади. Но когда говорят о площади геометрической фигуры выделяют определённый класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь поверхность многоугольника и другое.

Площадью фигуры называется положительная величина определенная для каждой фигуры так, что:

1. Равные фигуры имеют равные площади;

2. Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь ровна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить точно площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате измерения площади – S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади E. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) – положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если F состоит из F1 и F2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей F1 и F2.

4. При замене единице площади численное значение площади данной фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F)=1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значение площади фигуры F1 не больше численного значения площади фигуры F2.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Многоугольники F1 и F2 называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Теорема.Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

F – данный прямоугольник

a,b – длины его сторон.

Доказать: S(F) = ab

Доказательство:

1. Пусть a и b – натуральные числа. Тогда прямоугольник F можно разбить на единичные квадраты: F = E+E+E…+E. Всего их ab, так как имеем b рядов, в каждом из которых a квадратов. Отсюда S(F)=S(E)+S(E)…+S(E) = abS(E) =ab

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку. Палетка – это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона принимается за1.

Таким образом площадь геометрических фигур можно измерить максимально точно с помощью вычислений, но если фигура произвольна, то ее площадь можно найти только приблизительно.

Математические понятия. Объем и содержание понятия. Определение понятия через род и видовое отличие. Требование к определению понятий

Математические понятия:

1.Связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др.;

2.Алгебраичкские понятия: выражение, равенство, уравнение и др.;

3.Геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д.;

4.Понятия, связанные с величинами и их измерением.

Любое математическое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием понятия.

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Понятия обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z. Их объемы обозначаются соответственно: A, B, C, …, Z.

Если А с В (А = В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны (а ≡ b) («равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник»).

В отношении «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). а <=> b

определение

Определения, имеющие такую структуру называются явными.

Определяемое понятие <=> Родовое понятие + Видовое отличие

Определяющее понятие

Пример: квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Также выделяют неявные понятия, в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятия. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

Контекстуальные определения – содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия.

Остенсивные определения – это определения путем показа. Они используются для введения термина путем демонстрации объектов, которые этим термином обозначаются.

Существенное свойство – свойство, присущее этому объекту и без него он не может существовать.

Между объемом и содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот.

Генетические понятия – показ пути зарождения.

Пример: конус – это тело, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Индуктивное понятие – определения но основе формулы.

Пример: арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент получается путем прибавления одного и того же числа к предыдущему.

Требования к определению понятия:

* определение должно быть соразмерным

* в определении не должно быть порочного круга

* определение должно быть ясным