Доказательство математических предложений. Индукция (полная, неполная), дедукция. Простейшие правила вывода

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Математическое доказательство – это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения доказательства делятся на прямые и косвенные.

1.Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Теорема. Каждое составное натуральное число больше 4, но меньше 20 представимо в виде суммы двух простых чисел.

Доказательство: 6=3+3; 8=5+3; 9=7+2; 10=5+5; 12=7+5; 14=7+7; 15=13+2; 16=13+3; 18=13+5. Что и требовалось доказать.

2.Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Этот метод часто используется в начальной школе (без формулировки) – доказательство переместительного свойства умножения, сложения.

2+3<2*3 , но 2+1>2*1

4+2<4*2 2+2=2*2

7+3<7*2 0+4>0*4

Неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам.

3.Метод от противного. Закон контрапозиции.

Теорема. а+3>10, то а ≠ 7.

Решение. Предположим, что заключение данного утверждения ложно, тогда истинно будет его отрицание, т.е. предположение а=7. Подставим это значение а в неравенство а+3>10. Получим предложение 7+3>10 или 10>10, которое ложно. Пришли к противоречию с определением отношения «больше» для чисел. Следовательно, наше предположение неверно, и поэтому, если а+3>10, то а ≠ 7.

4.Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Например, ученик установил, что число делится на шесть, если оно делится на 2 и на три. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедится в ложности полученного вывода, достаточно привести контр-пример: число 12 делится на 2 и на 4, но оно не делится на 8.

Умозаключение – способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылки и заключения.

Посылка – высказывание, содержащее исходное знание.

Заключение – высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Дедуктивным называется умозаключение в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Простейшие схемы дидактических умозаключений:

1.Правило заключения 2.Правило отрицания 3.Правило силлогизма

А(х) => В(х), А(а)А(х) => В(х), В(а)А(х) => В(х), В(х) => С(х)

В(а) А(а) А(х) => С(х)

Софизмы – это умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильных.