Математические методы в прогнозировании.

Математические методы в прогнозировании основываются на математических методах, формулах, моделях, т.е. на конкретных расчетных данных.

Включают в себя следующие группы:

- экстраполяция

- интерполяция

- методы аналогии

Экстраполяционные методы прогнозирования.

Экстраполяция – процесс перенесения объективных закономерностей, существующих в прошлом на будущее. Д.б. высокая стабильность среды.

Функция экстраполяции: Х_m+t =f (X_m,t), где

Х_m+t - прогнозное значение

X_m – текущее значение

t – период прогнозирования

Процесс экстраполяции предполагает 4 подхода для определения прогнозируемого показателя:

1 подход – предполагает определение средних значений прогнозируемого показателя.

а) простая средняя арифметическая – вычисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений Х изучаемой статистической совокупности.

n

Х = ∑ Х_i

_{_i=1___}

n

б) среднее арифметическое дискретного ряда – когда одно и тоже значение признака встречается несколько раз.

n

Х = ∑ Х_i *f_i

_{_i=1_______}

n

∑ f_i

_i=1

f_i – частота повторяющегося признака

в) средняя арифметическая взвешенная

n

Х = ∑ Х_i *ω_i

_{i=1_______}

n

∑ ω_i

_i=1

г) средняя геометрическая

n n

Х = √П Х_i П – произведение

_i=1

д) средняя хронологическая – используется в моментном ряду, с равностоящими моментами (датами) времени Х.

Х = 1/2х1 + х2 + …. + 1/2хn

n-1

Для моментного ряда с неравностоящими моментами времени:

Х = х1 t1 +…+ хn tn

t1 + .... + tn

2 подход– основан на использовании показателей интенсивности динамики ряда:

а) Цепной абсолютный прирост (разность между каждым последующим уровнем ряда и уровнем непосредственно предшествующим ему). ∆Х = Х_i – Х_i-1

б) Базисный абсолютный прирост – разница м/у некоторым уровнем ряда и базисным уровнем.

в) Средний абсолютный прирост: ∆Х = ∑ ∆х

n-1

г) Темп роста – это отношение текущего показателя к предыдущему. ТР_хi = Хi__

n-1 Хi-1

д) Средний темп роста: ТР_хi = √n * ТР_хi

е) Темп прироста: Тприр _хi = ТР_хi - 1

ж) Средний темп прироста: Тприр _хi = ТР_хi - 1

Функция экстраполяции для среднего абсолютного прироста: Х_m+t = Х_m + ∆Х *t

При среднем абсолютном темпе прироста: Х_m+t = Х_m (Т_{прир. хi} +1) ²

3 подход – предполагает использовать в качестве прогнозного значения скользящую среднюю и экспоненциальную среднюю. Эти виды средних позволяют сглаживать вариационные ряды, чтобы исключить влияние случайных событий. Эти средние используются для краткосрочных прогнозов, где прогноз осуществляется на 1 шаг вперед.

Метод скользящей средней:

Предполагает замену фактических уровней ряда расчетными имеющими меньшие колебания. Скользящая средняя рассчитывается по группам данных за определенный интервал времени со сдвигом на 1 шаг вперед.

Метод экспоненциальной средней:

Состоит в замене фактических уровней ряда расчетными, имеющими меньший масштаб колебания.

Х_m+t = Q_i = Х_i * £ + (1 - £) * Q_{i – 1},

где Х_i – фактический уровень ряда

£ (альфа) - коэффициент сглаживания (0,1 ≤ 2 ≤ 0,3)

Q_{i – 1} - предыдущее значение экспоненциальной средней.

4 подход - основан на использовании индекса сезонности.

Сезонные колебания – изменение уровня вариационного ряда, вызываемое влиянием временем года. Повторяются каждый год, но длительность периода каждый раз меняется. Для изучения сезонных колебаний необходимо иметь данные за каждый квартал, а лучше за каждый месяц. Для расчета сезонных колебаний используется индекс сезонности.

Индекс сезонности - такие изменения сезонных колебаний, которые рассчитываются отношением текущих данных вариационного ряда к теоретическим или расчетным.

J_si = Хi_____

Хi теор.