Построение кривой плотности распределения вероятности. Получение вероятнейшего значения по МНК.

Кривые плотности распределения вероятности по закону нормального распределения (по закону Гаусса) Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, характеризуются тем, что малые по величине погрешности встречаются чаще, чем большие; отрицательные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто. Кривая, изображающая плотность распределения вероятности по нормальному закону, определяется уравнением, где у — плотность распределения вероятности; а и σ — параметры распределения; х — аргумент функции плотности вероятности, т.е. случайная величина; — ∞ < х < ∞. При совпадении центра группирования с началом отсчета величины х, т. е. при переносе начала координат, уравнение кривой нормального распределения будет иметь вид. Кривая плотности вероятности нормального распределения симметрична относительно максимальной ординаты. Величина параметра а равна математическому ожиданию М (Х) случайной величины X: для дискретной величины где xi — возможное значение дискретной случайной величины; р (xi) —вероятность значения xi дискретной случайной величины; для непрерывных величин где Рх (х) — плотность вероятности непрерывной случайной величины X. Значение М (X) характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии. При отсутствии систематических погрешностей в результатах многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины, т. е. к значению, свободному от ошибок измерения.

Приведение расхождений, обусловленных избыточными измерениями, в формальное соответствие называется уравниванием. Если такое уравнивание производится исходя из требования о том, чтобы полученные поправки к измеренным величинам удовлетворяли условию (минимизировался критерий) , то оно называется уравниванием по методу наименьших квадратов.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов