Графическое представление и практическое применение уравнения Бернулли

Диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидко­сти показана на рис. 3.4. От центров тяжести сечений / и // от­ложены отрезки, соответственно равные пьезометрическим высотам и , затем от точек В и В¹ отложены вверх отрезки,соответствующие высотам скоростного напора в этих сечениях

Линия О—О - след плоскости сравнения; линия ВВ' назы­вается пьезометрической линией; линия СС' — напорной линией; линия DD' — линией первоначального напора. Очевидно, отре­зок D'C' соответствует потере напора h_w по длине потока на участке между сечениями / — //.

На основании уравнения Бернулли сконструирован ряд при­боров, такие, как , водоструйный насос, эжектор и др.

Выведем общую формулу водомера для определения расхода жидкости.

Предварительно приняв для заданных условий z₁=z₂=0, a₁=1 и a₂=1 и h_w=0 (ввиду малости расстояния между се­чениями), можем записать уравнения Бернулли в виде:

.

Отсюда следует, что с увеличением скорости движения пьезометрическое давление уменьшается и наоборот. Это положение используется в водомере Вентури, где по разности показаний пьезометров h, зная диаметры D и d, можно определить мгновенный поток.

где и - площади соответствующих сечений

Скорость течения движущейся жидкости можно определить трубкой Пито. Этот прибор (рис. 3.7) представляет собой стек­лянную трубку, открытую с двух концов. При этом изогнутый под прямым углом конец трубки располагается в жидкости так, чтобы ось нижнего колена совпадала с линией тока. В трубке Пито создается дополнительное давление от воз­действия скорости движущейся жидкости (скоростной напор).

Измерение скорости в потоке закрытого трубопровода можно провести по разности показаний трубки Пито , определяющей полный напор h₁=((p/rg)+v²/(2g)), и пьезометрической трубки, определяющей пьезометрический напор – h₂=p/rg. Скорость потока (м/с) в точке расположения нижнего отверстия трубки Пито можно определить по высоте подъема жидкости h₃= v²/(2g).

где m — коэффициент расхода (истечения), который определяется экспериментально и зависит от вида (формы) отверстия; f — площадь поперечного сечения отверстия; h — напор.

Учитывая, что напор h=p/(rg), формулу Торичелли преобразуем к виду

где Δp — перепад давления в отверстии.

Эту формулу часто используют для расчета процессов дросселирования, прохождения жидкости через местное гидравлическое сопротивление (золотники, клапаны и другие гидроаппараты).

Различают два вида течения жидкости в различных условиях: струйное и вихревое. Струйное течение называют ламинарным, а вихревое — турбулентным.

Режим течения оценивается числом Рейнольдса

,

где v — средняя скорость потока, м/с; n — кинематическая вязкость, м²/с; d — гидравлический диаметр; при круглом сечении он соответствует внутреннему диаметру трубы, м; в других случаях его необходимо определять по выражению

.

Здесь: S — площадь сечения, м²; L — смоченный периметр сечения, м.

Число Рейнольдса - Re является безразмерным. При критическом значении Rе_кр поток переходит из ламинарного режима в турбулентный. Для жестких гладких круглых труб Rе_кр равно 2300, для гибких рукавов 1600, для гладких кольцевых щелей 1000…1100, для окон цилиндрических золотниковых распределителей 260, для кранов 550…750. Критическое значение Rе_кр определяет точку, ниже которой гарантированно не может существовать турбулентный режим течения.

Рассмотрим различные течения жидкости в терминах энергетического спектра и в пространстве состояний, если поместить какое-либо тело в поток жидкости, например, опору моста в русло реки, то при очень малых скоростях жидкость течёт ламинарно (рис.3.8). Такое течение является стационарным, т.е. скорость в любой точке пространства не зависит от времени. Следовательно вся энергия в спектре сосредоточена на нулевой частоте. В пространстве состояний такое течение изображается одной точкой. Эта точка является устойчивой траекторией системы т.е. если начальное течение соответствовало другой точке в пространстве состояний, то в пределе любое распределение скоростей будет стремится к устойчивому. (Строго говоря не любое, а любое из области притяжения устойчивой траектории). С ростом скорости в
потоке образуются вихри, однако картина продолжает оставаться стационарной (рис. 3.9.). Так как поле скоростей по прежнему стационарно, то никаких изменений относительно ламинарного течения в спектре не произойдёт. В пространстве состояний это течение будет так же, как и ламинарное изображаться одной точкой, однако, её положение изменится. При дальнейшем росте скорости возможен отрыв вихрей и их увлечение потоком. Возникает нестационарное течение, которое, например, можно наблюдать с моста. При этом скорость, измеренная в некоторой точке вниз по потоку за мостом, оказывается периодической функцией времени (рис.3.10.). В такой ситуации происходит качественное изменение как энергетического спектра, так и траектории системы в пространстве состояний. В спектре появляется новая частота отличная от нулевой, а траектория в пространстве состояний из точки превращается в устойчивый цикл. В одном из первых сценариев возникновения турбулентности --- сценарии Ландау --- предполагалось, что по мере увеличения числа Рейнольдса в системе будет возникать всё больше новых частот. Траектория системы будет усложнятся: предельный цикл превратится в двумерный тор, этот тор в свою очередь превратится в трёхмерный и далее бесконечный каскад новых торов. Однако, сейчас не вызывает сомнений, что в большинстве систем сценарий возникновения турбулентности другой и данный сценарий крайне маловероятен. Один из сценариев имеющих экспериментальное подтверждение будет рассмотрен далее. При ещё большем возрастании числа Рейнольдса крупные вихри начинают порождать неупорядоченные внутренние вихри. В зависимости скорости от времени кроме периодической компоненты, появляются так же и нерегулярные отклонения. Спектр
пред

Сопротивление течению жидкости увеличивается, гидравлические потери повышаются.