Класс (11-летняя школа)

№ 1. Ответ: 1.

Так как хуz = 1, то z = .

Следовательно, + + =

= + + = = 1

№ 2.а³в - в³а > 4

а² + в² = 4

Рассмотрим первое неравенство:

4 < а³в - в³а , умножим обе части неравенства на 4:

16 < 4а³в - 4в³а = 2(2ав)(а²-в²) ≤ (2ав)² + (а²-в²)² =(а²+в²)²= 4² [второе уравнение системы] = 16, т.е. 16 < 16 – противоречие.

Значит система не имеет решения.

АВСД – ромб, значит АВ = ВС, соответственно ВЕ = FС. Отложим на отрезке АВ АК = ВЕ, тогда ∆АКД = ∆СFД (по двум сторонам и углу между ними). Значит ДК = ДF. ∆ДЕF – равносторонний (по условию), то ДЕ = ДF и ДК= ДF, значит ДК = ДЕ и ∆КДЕ – равнобедренный, у которого ДКЕ = ДЕК.

Из этого следует, что АКД = ВЕД и значит ∆АДК = ∆ВДЕ (по первому признаку). Из равенства треугольников АДК и ВДЕ следует, что АД = ВД, значит ∆АВД – равносторонний и ВАД = 60º, а АВС = 120º.

№ 4. Ответ: 20 коров.

Обозначим всю траву на лугу за 1, прирост травы в 1 день за а. Тогда через 24 дня травы будет на лугу 1+ 24а, через 60 дней – 1+ 60а, через 96 дней 1+ 96а. Так как 70 коров съели всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней, то количество съеденной травы 1 коровой за 1 день будет находиться как или . Из уравнения = найдема, а = , тогда через 96 дней на лугу будет травы 1 + 96а = 1,2. За 1 день корова съедает , а за 96 дней 0,06. Тогда 1,2 травы съедят = 20 коров.

№ 5. Ответ: нет.

Пусть ρ – наибольшее из расстояний между точками, t – наименьшее.

1. Возьмем на плоскости N точек и допустим, что их можно расставить на плоскости так, что ρ – наибольшее и t – наименьшее из расстояний между ними.

2. Возьмем произвольную точку и проведем круг с центром в этой точке и радиусом ρ, тогда этот круг включает в себя все точки плоскости (т.е. они находятся внутри или на границе).

3. Около каждой точки опишем круги радиусом с центром в этих точках. Так как t – наименьшее, то эти круги либо не имеют общих точек (они могут только иметь общие точки в виде точек касания).

4. Суммарная площадь этих кругов N.

5. Найдем площадь круга с радиусом (ρ + ) S = π(ρ + )².

6. Очевидно N < π(ρ + )²

N < (ρ + )² ; < ρ +

отсюда > (*)

Так как ρ ≤ 21, t ≥ 3, то ≤ 7; ≥ 7 – что противоречит (*).

Следовательно, нельзя.