КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Доказательство.Сначала докажем первое утверждение. Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем Теперь докажем второе утверждение. Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при . Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано. Из двух последних свойств следует важное утверждение:
18.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Доказательство теорем о линейной зависимости. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные. В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называютсялинейно независимыми.
Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Доказательство:
Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости могут быть только те векторы, которые неколлинеарны.
19.Диагональная система векторов. Доказательство теоремы о диагональной системе векторов. Диагональная система векторов, система единичных векторов. 20.Система единичных векторов. Доказательство утверждений о системе единичных векторов. Единичный вектор - это вектор, абсолютная величина (модуль) которого равен единице. 21.Базис, ранг системы векторов и векторного пространства. Доказательство теоремы о разложении вектора по базису. 22.Евклидово пространство. Определение и примеры. Норма и ее свойства. Доказательство неравенства Коши – Буняковского. 23.Ортогональные системы векторов в евклидовом пространстве. Доказательство теоремы о базисе евклидова пространства. 24.Ортогональный и ортонормированный базис. Вывод формулы для координат вектора в ортонормированном базисе. Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.
Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.
при
Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:
Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.
25.Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя. 26.Ранг матрицы. Различные формы определения ранга. Доказательство теоремы о базисном миноре. Свойства ранга. Методы нахождения. 27.Общая теория систем ЛАУ. Доказательство критерий Кронекера-Капелли. 28.Однородная система ЛАУ. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии существования ненулевого решения однородной системы. Следствия. 29.Свойства решений однородной системы ЛАУ. Фундаментальная система решений однородной системы и ее нахождение. 30.Собственные векторы и собственные значения, доказательство свойства. Характеристический многочлен. Спектр. Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец , удовлетворяющий условию
31.Теорема о сумме и произведении собственных значений. Проблема диагонализации. Теорема о построении диагональной формы матрицы. 32.Линейные преобразования переменных. Матрица линейного преобразования. Ортогональное линейное преобразование переменных.
|