Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

18.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Доказательство теорем о линейной зависимости.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называютсялинейно независимыми.

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство:

1. Действительно, пусть имеем два коллинеарных вектора и . Тогда либо оба они равны нулю, и следовательно, любая их линейная комбинация при любых λ₁ и λ₂, либо один из них не нуль, тогда другой отличается от него на числовой множитель, например, . Но отсюда , а это и означает линейную зависимость векторов и .
2. Докажем обратное, т.е. если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Пусть векторы и линейно зависимы. Тогда найдутся числа λ₁ и λ₂ такие, что , причём, например, λ₂ ≠ 0. Тогда , т.е. векторы коллинеарны.

Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости могут быть только те векторы, которые неколлинеарны.

19.Диагональная система векторов. Доказательство теоремы о диагональной системе векторов.

Диагональная система векторов, система единичных векторов.

20.Система единичных векторов. Доказательство утверждений о системе единичных векторов.

Единичный вектор - это вектор, абсолютная величина (модуль) которого равен единице.

21.Базис, ранг системы векторов и векторного пространства. Доказательство теоремы о разложении вектора по базису.

22.Евклидово пространство. Определение и примеры. Норма и ее свойства. Доказательство неравенства Коши – Буняковского.

23.Ортогональные системы векторов в евклидовом пространстве. Доказательство теоремы о базисе евклидова пространства.

24.Ортогональный и ортонормированный базис. Вывод формулы для координат вектора в ортонормированном базисе.

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

при

Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

25.Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя.

26.Ранг матрицы. Различные формы определения ранга. Доказательство теоремы о базисном миноре. Свойства ранга. Методы нахождения.

27.Общая теория систем ЛАУ. Доказательство критерий Кронекера-Капелли.

28.Однородная система ЛАУ. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии существования ненулевого решения однородной системы. Следствия.

29.Свойства решений однородной системы ЛАУ. Фундаментальная система решений однородной системы и ее нахождение.

30.Собственные векторы и собственные значения, доказательство свойства. Характеристический многочлен. Спектр.

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы . Число в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы . Говорят, что собственный вектор соответствует {принадлежит) собственному значению .

31.Теорема о сумме и произведении собственных значений. Проблема диагонализации. Теорема о построении диагональной формы матрицы.

32.Линейные преобразования переменных. Матрица линейного преобразования. Ортогональное линейное преобразование переменных.