Преобразование матрицы оператора при изменении базиса.

Преобразование координат вектора при изменении базиса.

Рассмотрим два базиса и , предположим, что некоторый вектор X имеет в них координаты и , соответственно. Установим связь между этими координатами :

В силу единственности разложения вектора по базису , имеем

или в силу обратимости С

Данные соотношения и описывают закон преобразования координат при изменении базиса пространства. Заметим, что всегда существует, в силу того, что С переводит базис в базис.

Преобразование матрицы оператора при изменении базиса.

Пусть – линейный оператор действующий из в , Обозначим через его матрицу в базисе e, и через его матрицу в базисе f. Тогда по алгоритму построения матрицы:

Выразим матрицу A оператора F в базисе e через его матрицу B в базисе f и через матрицу перехода С:

Применим к обеим частям преобразование :

Тогда по алгоритму построения матрицы оператора -тый столбец матрицы в базисе e совпадает с -тым столбцом матрицы В.Получаем .

Матрицы и называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .

Таким образом, матрицы одного и того же оператора действующего из в взятые в различных базисах подобны. В связи с подобием матриц возникает естественная задача: среди всех матриц подобных данной найти матрицу наиболее простого вида, матрицу, у которой наибольшее число нулевых элементов.