Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Нахождение собственных чисел и собственных векторов.




Определение.Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Из определения следует, что собственные векторы линейного оператора , соответствующие собственному числу , являются отличными от нуля элементами ядра оператора

, то есть ненулевыми решениями однородной СЛАУ

( )X=0 или в координатной форме

(1)

где A= -матрица оператора A ,

Однородная СЛАУ (1) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель det( )=0.

Определение. Пусть - матрица линейного оператора A. , уравнение det( )=0.называется характеристическим уравнением , а его корни – характеристическими числами линейного оператора.

Таким образом любое собственное значение оператора A является корнем его характеристического уравнения. Приходим к

алгоритму нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1.Найти корни характеристического уравнения det( )=0.

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему ( )X=0 и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу ).

Пример1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 4l + 4 = 0;

 

Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

 

 

Пример2. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

 

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

 

1) Для l1 = -2:

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0; x3 = -1;

 

2) Для l2 = 3:

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1; x3 = 1;

 

3) Для l3 = 6:

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2; x3 = 1;

 

 

Пример3. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l2 - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l2 - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l2 + 9l - l3 + 3l2 - 8l = 0

-l3 + l = 0

l1 = 0; l2 = 1; l3 = -1;

 

Для l1 = 0:

 

Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

 

Аналогично можно найти и для l2 и l3.

 

 

Пример4.Найти собственные числа и собственные векторы для линейного оператора, заданного матрицей:

- .

Число 1 является корнем данного многочлена, затем делим на и находим ещё два корня. Итак, собственными числами будут 1, 1 и 3. Корень 1 имеет кратность 2. При его подстановке вместо , получим

1) .

, свободные неизвестные , фундаментальная система решений:

,

2) .

,

фундаментальная система решений:

.

Количество линейно-независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому корню , определяется количеством свободных неизвестных в системе однородных уравнений ( )X=0 и может быть меньше, чем кратность характеристического корня. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий эту ситуацию.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 123; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты