Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

Определение.Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Из определения следует, что собственные векторы линейного оператора , соответствующие собственному числу , являются отличными от нуля элементами ядра оператора

, то есть ненулевыми решениями однородной СЛАУ

( )X=0 или в координатной форме

(1)

где A= -матрица оператора A ,

Однородная СЛАУ (1) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель det( )=0.

Определение. Пусть - матрица линейного оператора A. , уравнение det( )=0.называется характеристическим уравнением , а его корни – характеристическими числами линейного оператора.

Таким образом любое собственное значение оператора A является корнем его характеристического уравнения. Приходим к

алгоритму нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1.Найти корни характеристического уравнения det( )=0.

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему ( )X=0 и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу ).

Пример1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Составим характеристическое уравнение:

l² - 4l + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = l₂ = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

Пример2. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l² - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l²) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l² - 4l + 6l² - l³ + 10l - 40 = 0

-l³ + 7l² – 36 = 0

-l³ + 9l² - 2l² – 36 = 0

-l²(l + 2) + 9(l² – 4) = 0

(l + 2)(-l² + 9l - 18) = 0

Собственные значения: l₁ = -2; l₂ = 3; l₃ = 6;

1) Для l₁ = -2:

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 0; x₃ = -1;

2) Для l₂ = 3:

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = -1; x₃ = 1;

3) Для l₃ = 6:

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 2; x₃ = 1;

Пример3. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l² - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l² - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l² + 9l - l³ + 3l² - 8l = 0

-l³ + l = 0

l₁ = 0; l₂ = 1; l₃ = -1;

Для l₁ = 0:

Если принять х₃ = 1, получаем х₁ = 0, х₂ = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

Аналогично можно найти и для l₂ и l₃.

Пример4.Найти собственные числа и собственные векторы для линейного оператора, заданного матрицей:

- .

Число 1 является корнем данного многочлена, затем делим на и находим ещё два корня. Итак, собственными числами будут 1, 1 и 3. Корень 1 имеет кратность 2. При его подстановке вместо , получим

1) .

, свободные неизвестные , фундаментальная система решений:

,

2) .

,

фундаментальная система решений:

.

Количество линейно-независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому корню , определяется количеством свободных неизвестных в системе однородных уравнений ( )X=0 и может быть меньше, чем кратность характеристического корня. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий эту ситуацию.