Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Матрица линейного оператора в новом базисе вычисляется по формуле ,где - матрица перехода от старого базиса к новому. Особый интерес представляет тот случай, когда новый базис или полностью, или хотя бы частично состоит из собственных векторов линейного оператора. При этом строение матрицы линейного оператора сильно упрощается, а если все n векторов базиса – собственные векторы, то матрица будет диагональной, причём по диагонали расположены n собственных чисел. Допустим, что - собственный вектор, соответствующий собственному числу . Тогда этот вектор отображается оператором в вектор , то есть . Это и означает, что первый столбец матрицы оператора состоит из чисел . Аналогично , то есть во втором столбце - все нули кроме элемента , который равен собственному числу . Таким же образом для остальных столбцов получается, что единственный ненулевой элемент столбца будет расположен на диагонали матрицы. Если все n векторов базиса – собственные, то матрица оператора диагональная, а если только первые m векторов собственные, то только в первых m столбцах все элементы кроме диагональных будут нулевые.