Пример.5

= = 0, характеристический корень равен 1, его кратность равна двум. Однако для этого линейного оператора не существует линейно-независимой системы из двух собственных векторов на плоскости. Решаем однородную систему, получающуюся при подстановке значения =1.

Второе уравнение будет тождеством 0 = 0, первое уравнение: , при этом x – свободная неизвестная, отсюда следует, что собственным вектором будет вектор {1,0}.

Пример6 . Рассмотрим оператор поворота на угол , когда угол поворота не 0⁰ и не 180⁰.задаваемый матрицей:

Очевидно у него нет ни одного собственного вектора так как каждый вектор поворачивается на угол кроме тех случаев, когда угол поворота 0⁰ или 180⁰.

Характеристическое уравнение в рассматриваемом случае

действительных корней не имеет.

Замечание. Совершенно иная ситуация, если оператор рассматривать как действующий из С в С . У такого оператора всегда имеется хотя бы одно собственное значение.

Теорема .Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, образуют линейно независимую систему.

Пусть . Предположим (от противного), что - линейно зависимая система, это означает, что векторы коллинеарны: .С одной стороны, , но то же время . Получается, что , то есть , что противоречит тому, что собственные числа различны. Итак, предположение коллинеарности собственных векторов, относящихся различным собственным числам, было неверно, значит эти векторы образуют линейно независимую систему, что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для системы из n векторов. Если система собственных векторов, относящихся соответственно к , является линейно зависимой, то ХОТЯ бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Положим для определённости . Тогда: , но в то же время .Тогда разность:

, что означало бы для всех индексов i. Но по условию, собственные числа различны. Получили противоречие. Следовательно, система векторов линейно независима.