Факторы и параметр оптимизации

При проведении эксперимента исследуемый объект представляют в виде «черного ящика», на вход которого поступают воздействующие параметры, а на выходе получают значения параметров, характеризующих состояние объекта.

u₁ u₂ u_i

x₁ y₁

x₂ y₂

x _k y_n

z₁ z₂ z_m

На исследуемый объект воздействуют четыре группы параметров:

1. X = (x₁,x₂,…x_k) – контролируемые и управляемые параметры, допускающие целенаправленное изменение в ходе исследования.

Их называют независимыми параметрами.

2. U = (u₁,u₂,…u_i) - контролируемые параметры, не допускающие целенаправленного изменения в ходе исследования. К ним можно отнести условия окружающей среды.

3. Z = (z₁,z₂,…z_m) - неконтролируемые и неуправляемые параметры. Они характеризуют возмущения, которые нельзя измерить количественно (например, старение деталей).

4. Y = (y₁,y₂,…y_n) - выходные параметры.

Задача каждого исследователя заключается в том, чтобы при фиксированных параметрах u_j = const и z _l= const выбрать такие значения

x_i = var (i=1…k) при которых выходной параметр Y достигает оптимальной величины, т. е. необходимо оптимизировать функцию

Y = f_opt(x_i = var, u_j = const, z_l = const).

Независимые переменные x_i принято называть факторами.

К факторам предъявляют следующие требования:

1. Независимость, т.е. возможность установить фактор на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то планировать эксперимент невозможно.

2. Совместимость, т.е. все комбинации факторов осуществимы и безопасны.

3. Управляемость, т.е. выбрав нужное значение фактора, экспериментатор может его поддерживать постоянным в течение всего опыта.

4. Точность замера. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов.

5. Однозначность, т.е. непосредственное воздействие факторов на объект.

Выходами черного ящика являются параметры оптимизации

Y = (y₁,y₂,…y_n).

Параметром (или критерием) оптимизации называется количественная характеристика цели экспериментального исследования.

К параметру оптимизации предъявляются следующие требования:

1. Быть количественным и задаваться одним числом, допускать измерение при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов.

2. Всесторонне характеризовать объект исследования.

3. Иметь простой физический смысл.

4. Существовать на всех стадиях проведения эксперимента.

5. Иметь нормальное распределение по законам математической статистики.

1.2 Выбор модели

Под математической моделью понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами, т.е.

y = f (x₁,x₂,…x_k).

Область определения функции отклика называют областью поиска.

Чтобы выбрать модель, надо понять, что мы хотим от неё, какие требования к ней предъявляем. Главное требование – способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Предполагаем, что поверхность отклика, т.е. функция

y = f (x_i) – непрерывная, гладкая и имеет единственный оптимум. Такие функции в математике называются аналитическими. Аналитическую функцию в окрестности любой точки можно представить в виде степенного ряда. Таким образом, всегда, когда возможно, будем искать модель в виде полиномов

Отсюда следует, что чем больше степень полинома, тем больше нужно опытов. Значит нужно найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявляемым к модели. Модель должна хорошо предсказывать направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением по градиенту. Этим требованиям удовлетворяет полином первой степени. С одной стороны, он содержит информацию о направлении градиента, с другой - в нем минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов.

Процесс нахождения модели состоит из следующих этапов:

- планирование эксперимента (построение плана эксперимента);

- собственно эксперимент;

- проверка воспроизводимости (однородности выборочных дисперсии);

- получение математической модели объекта с проверкой статистической значимости выборочных коэффициентов регрессии;

- проверка адекватности математического описания.

Полный факторный эксперимент

Построение планов ПФЭ

Планированию эксперимента предшествует этап сбора и анализа априорной информации. При этом оцениваются границы области определения факторов. Для каждого фактора следует выбрать два уровня (нижний и верхний), на которых он будет варьироваться в эксперименте. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал варьирования не может быть настолько большим, чтобы верхний и нижний уровни не оказались за пределами области определения.

Чтобы упростить запись условий опытов и облегчить обработку экспериментальных данных, используют кодированные значения факторов: 0 –основной уровень, +1 – верхний уровень, -1 – нижний уровень. Кодирование осуществляется по формуле

где - кодированное значение фактора; - натуральное значение фактора; - натуральное значение основного уровня фактора; - интервал варьирования.

Пример. Пусть в эксперименте изменяются два фактора на двух уровнях - температура и - время реакции. Для температуры основным уровнем является , а интервал варьирования - .

Тогда верхним уровнем для температуры будет

,

а нижним - .

В кодированных значениях это запишется так:

.

Если для выбраны = 30 мин и = 5 мин, то .

Уровни и интервалы варьирования оформляются в виде таблицы.

	Температура, 0C	Время реакции, , t мин
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Для двух уровней это будет ПФЭ типа 2^к, а для n уровней – ПФЭ типа n^к. Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях.

Условия эксперимента представляются в виде таблицы – матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов.

ПФЭ позволяет количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия. Взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор.

Ниже приводится пример матрицы планирования для ПФЭ типа 2³ с учетом эффектов взаимодействия. План и модель неразрывно связаны.