Предположим, что начальные условия равны нулю, Тогда

.

(2.9а)

Иными словами: изображение производной функции равно изображению функции, умноженному на s. Для получения изображения второй производной надо изображение функции умножить на , а третьей на . Тогда вместо выражения (2.2) получим:

(2.10)

Здесь:

– изображение выходной величины,

– изображение управляющего воздействия,

– изображение возмущающего воздействия.

Введем обозначения:

,

(2.11)

,

(2.12)

.

(2.13)

Тогда после подстановки (2.11), (2.12) и (2.13) в (2.10) получим:

.

(2.14)

Разделив (2.14) на P(S), получим:

.

(2.15)

При отсутствии возмущающего воздействия

.

(2.16)

Отсюда

.

(2.17)

Отношение изображения управляемой величины к изображению управляющего воздействия при нулевых начальных условиях и отсутствии возмущения называетсяпередаточной функцией по каналу управляющего воздействия.

При отсутствии управляющего воздействия

,

(2.18)

откуда

(2.19)

Отношение изображения управляемой величины к изображению возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях и отсутствии управляющего воздействия называется передаточной функцией по каналу возмущающего воздействия.

В общем случае

.

(2.20)

При наличии нескольких входных и возмущающих воздействий

.

(2.21)

Иными словами, в линейных системах соблюдается принцип суперпозиции, в соответствии с которым выходная величина от нескольких входных воздействий равна сумме выходных величин, полученных от каждого воздействия в отдельности.

Хотелось бы отметить, что термин «передаточная функция» играет фундаментальную роль в теории автоматического управления. Передаточная функция однозначно определяет динамические свойства как системы управления, так и отдельных ее элементов. Зная эту функцию, можно предсказать поведение как отдельных элементов, так и системы в целом.

Каждый элемент, каждое устройство, каждая электрическая схема имеют свою передаточную функцию.

Для электриков особый интерес представляет определение передаточной функции схем, включающих активные, индуктивные и емкостные сопротивления.

Пример 1. Определить передаточную функцию схемы, представленной на рис 2.2.

Рисунок 2.2

С – емкость, L – индуктивность, R – активное сопротивление,

U_вх – напряжение на входе, U_вых – выходное напряжение

По определению

.

Известно, что изображение активного сопротивления R, емкостного , индуктивного .

Тогда , .

Подставляя значения U_вых(S) и U_вх(S) в исходную формулу, получим:

.

Введем обозначения:

К₁ = 1; Т₁ = RC; T₂ = ; К₂ = RC.

Получим:

.

Данная система состоит из последовательно соединенных колебательного звена (или инерционного звена второго порядка при условии, что Т₁ 2Т₂) и дифференцирующего звена.

Пример 2. Определить передаточную функцию электрической схемы, представленной на рис. 2.3.

Рисунок 2.3

R₁, R₂, R₃ – активные сопротивления; L – индуктивность,

C₁ – емкость, U_вх – напряжение на входе схемы,

U_вых – напряжение на выходе

Данный пример отличается от примера 1 следующими особенностями:

а) ток входа и ток выхода не равны;

б) ток входа равен сумме двух токов:

;

в) когда имеется несколько параллельных ветвей, то необходимо складывать проводимости и определять общее сопротивление как величину, обратную этой проводимости.

Так, в данном примере общее сопротивление двух ветвей равно:

где ;

.

Т.к. ,

то .

Следовательно, ,

Найдем передаточную функцию, подставив в исходную формулу значения U_вх(S) и U_вых(S):

Введем обозначения:

; ;

; ; .

Получим:

.

Данная система состоит (рис. 2.4) из последовательно соединенных колебательного звена (или инерционного звена второго порядка при условии, что Т₁ 2Т₂) и форсирующего звена (т.е. параллельно соединенных дифференцирующего и безынерционного звеньев).

Рисунок 2.4

Домашнее задание № 1выполняется по вариантам, представленным ниже. Выбор вариантов производится по следующему правилу:

1. Выписывается номерзачетной книжки. Пусть этот номер 99731.

2. Из этого номера оставляют две последние цифры. В нашем примере 31.

3. Если предпоследняя цифра четная, она заменяется цифрой два, если нечетная – единицей, ноль остается нулем. В нашем примере выбирается вариант 11 из таблицы 2.1 «Варианты домашних заданий». Если обе последние цифры нули, то выбирается вариант 30.

Таблица 2.1 – Обратные преобразования Лапласа

№ п/п	Изображение	Оригинал
		d(t)
		t
		1 – , где a =
		1 + (at – 1) , где a =
		– 1 + (at + 1) , где a =
		(– 1 + ) + t , где a =