Множества и операции над ними. Множества бывают конечные и бесконечные

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное числоэлементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Например, множество дней недели конечное, оно состоит из семи элементов, множество натуральных чисел бесконечно.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества A обозначают |А|. Пусть, например, А ={a, b, c, d, e}. Тогда |A|=5.

Множества, содержащие одинаковоеколичество элементов (более точно, множества, между элементамикоторых можно установить взаимно однозначное соответствие), называютсяравномощными. И если множествоН = {1, 2, 3, 4, 5}, то оно равномощно приведенному выше множеству А.

Для бесконечных множеств картина более сложная. С точки зрения теории множеств «бесконечности» бывают разные. Пусть,например, дано множество натуральных чисел: N = {1,2,3,...}. Его элементы пронумерованы, т.е. они выстроены в последовательность.Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N натуральных чисел, т.е. если его можно представитьв виде { , , , ...}. Здесь — элемент, соответствующий числу i.

Например, множество целых чисел Z счетное, так как целые числа можно расположитьв последовательность 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... Говорят, что такие множества имеют мощность счетного множества.

Создатель теории множеств Георг Кантор впервые (в 1874 г.) показал, что существуют бесконечные несчетные множества. Таково, например, множество действительных чисел. Мощность такого множества больше, чем мощность счетного множества. Элементы такого множества нельзя выстроить в некую последовательность. Такие множества называются множествами мощности континуума (от лат. continuum — непрерывное). Например, прямая и интервал — равномощные множества мощности континуума.

Русское слово «множество» может ввести в заблуждение. Оно предполагает некоторое изобилие. Математическое понятие «множество» этого оттенка может не иметь. Существуют множества, состоящие из одного, двух элементов, а также множества, совсем не имеющие элементов. Такие множества называютсяпустыми и обозначаются символом Æ.

Часто бывает, что какое-то множество А приходится рассматривать не самостоятельно, а как часть другого, большего множества В. В этом случае множество А называют подмножеством множества В. Уточним это понятие.

Определение. Говорят, что множество А являетсяподмножеством множества В и пишут , если всякий элемент множества A является элементом множества В.

Например, если взять какую-нибудь среднюю школу, то множество учеников десятых классов этой школы является подмножеством в множестве всех учеников данной школы. В свою очередь множество учеников этой школы является подмножеством в множестве всех школьников.

Определение. Говорят, чтомножества А и В равны, и пишут А=В, если одновременно имеет место и , то есть каждый элемент множества А является элементом множества В, и каждый элемент множества В является элементом множества А.

Таким образом, множества будут равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество натуральных чисел и множество положительных целых чисел равны.

Любое непустое множество А имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и пустое множество. Это так называемые несобственные подмножества. Все другие подмножества (если они есть) — собственные.

При решении каждой конкретной задачи всегда есть множество, явно или неявно заданное, за пределы которого мы заведомо не выйдем. Такое множество называется универсальным множеством, или универсумом. Все участвующие в задаче множества являются подмножествами универсума. Мы будем обозначать его буквой U. Например, при решении задач с действительными числами универсумом будет множество действительных чисел R; при исследовании множеств, составленных из студентов, универсумом будет множество всех студентов университета, или множество жителей города, или множество студентов России — в зависимости от задачи.

Существуют способы получения новых множеств из уже имеющихся. Это операции объединения, пересечения, разности, дополнения.

Часто приходится искать общие точки геометрических фигуp и общие элементы различных других множеств. Эти общие элементы образуют новое множество, называемое пересечением.

Определение.Пересечением множеств А и В называется новое множество, которое обозначается А В и состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам А и В, то есть А В = {x| xєА и хєВ}.

Например, если А={1, 2, 3}, В={1, 3, 4}, то А B={1, 3}.

Также часто, как пересекать множества, приходится их объединять. Уже первоклассник, складывая две палочки и три палочки, объединяет два множества.

Определение.Объединением множеств А и В называется новое множество, которое обозначается А В и состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, то есть А В={х | xєA или xєВ}.

Например, если А={1, 2, 3},В={1, 3, 4}, то А В={1, 2, 3, 4}.

Если пересечение множеств не пусто, то в их объединении повторяющиеся элементы считаются лишь по одному разу.

Определение.Разностью множеств А и В называется новое множество, которое обозначается А\В и состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, то есть А\В={х | хєА, х В}.

Например, если А={1, 2, 3}, В={1, 3, 4}, то А\В={2}.

Нужно отметить, что A\B≠B\A. Так для приведенного выше примера, В\А={4}.

Определение.Дополнением множества А называется множество, которое обозначается и состоит из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих А, то есть =U\А={х | хÎU, хÏА}.

Например, если универсальным множеством в данном случае считать множество всех целых чисел, А — это множество всех четных чисел, то — это множество всех нечетных чисел. Если универсальным множеством считать множество всех людей, А — это множество всех женщин, то — это множество всех мужчин.

Рассмотренные нами операции над множествами могут быть проиллюстрированы графически с помощью диаграмм Венна, которые также называются кругами Эйлера (рис.1). Диаграмма Венна представляет собой схематическое изображение множеств в виде множества точек на плоскости. Универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножество А — в виде круга или какой-нибудь другой простой области внутри этого прямоугольника.

А В А В

Рис. 1

В) Представьте прочитанный текст в виде кластеров или «грозди» - это графический способ организации учебного материала). Для этого выделите смысловые единицы различного ранга и представьте их в графической форме, учитывая связи между ними: