Колебательное затухающее звено, апериодическое звено 2-го порядка

Это такое звено, у которого при скачкообразном изменении х,выходная величинана – у изменится в колебательном режиме с постоянным периодом и с амплитудой затухающего колебания по экспоненте. Динамическая характеристика имеет вид:

Т0²*d²y/dt²+T*dy/dt+y=к*х. Это уравнение 2-го порядка, звено имеет 2 емкости – Т0 и Т. Для решения уравнения необходимо получить передаточную функцию и характерное уравнение для данного звена. Передаточная функция:

Т0²*р0²*у(р)+Т*р*у(р)+у(р)=к*х(р)

W(р)=у(р)/х(р)=к/(Т0²*р²+Т*р+1). Характерное уравнение (когда знаменатель=0): Т0²*р²+Т*р+1=0.

Найдем корни: Р1,2=-Т/(2*Т0²)± (Т²-4Т0²/4*Т0⁴). Данные корни могут быть комплексно-сопряженные или действительно отрицательные. Если Т<2Т0, то корень дифференциала уравнения будет отрицательным и корни комплексно-сопряженные, т е: Р1,2=-α±j*ω. Коэффициент затухания α=Т/2Т0², ω= 4Т0²/Т0/4Т0⁴) – частота вынужденных колебаний выходной величины у. Решение будет иметь вид: у=у установится – с*е^-αt*sin(ω*t+ψ), где с, ω – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий, т е: (dy/dt)_t=0. Параметры: у установится = к*х, с=к*х*(ω0/ω), ω0=1/Т0 – частота свободных колебаний выходной переменной, ψ=arctg(ω/α). Подставив все получим:

y=кх*[1 - ω0/ω*е^-αt*sin(ω*t+arctg ω/α)]. График переходного процессса (х=const):

Пример: двухъемкостные статические объекты, электродвигатели переменного тока (асинхронные).

Апериодическое звено 2-го порядка: Динамическая характеристика данного звена имеет вид:

Т0²*d²y/dt²+T*dy/dt+y=к*х. Характеристическое уравнение данного звена: Т0²*р²+Т*р+1=0. Соотношение постоянных времени имеет следующий вид: Т1>2Т0. Корни характеристического уравнения будут вещественными и отрицательными: Р1,2=-α±γ, α=-Т1/2Т0, γ= ((Т1²-4Т0²)/4Т0⁴). И решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: у=к*х – с1*е^-(α+γ) – с2*е^{-( α-γ)}, где с1,с2 – постоянная интегрирования. График переходного процесса им s-вид: