МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

1.1. Гармонический сигнал

Гармонический сигнал записывают в виде

, (1.1)

где - амплитуда сигнала (индекс от слова «максимум»), - круговая частота, а - начальная фаза. Временная диаграмма гармонического сигнала показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Амплитуда гармонического сигнала – это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока).

Период сигнала (рис. 1.1) определяет циклическую частоту его повторения,

, (1.2)

измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл – число периодов колебаний в секунду.

Аргумент косинуса в (1.1) вида

(1.3)

называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах.

Круговая частота равна

(1.4)

и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с).

При полная фаза равна , поэтому параметр называют начальной фазой гармонического сигнала. Она измеряется в радианах или градусах. Так как период функции равен или 360⁰, то начальная фаза оказывается многозначной величиной. Например, значения начальной фазы 30⁰ и (30⁰+360⁰)=390⁰, а также (30⁰-360⁰)=-330⁰ оказываются эквивалентными. Для устранения неоднозначности договариваются, что значения начальной фазы должны находиться, например, в интервале от 0 до , или от до (аналогичные границы могут быть заданы в градусах).

Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину относительно функции , как показано на рис. 1.1. Функция смещена влево относительно , а - вправо. Положительные значения отсчитываются в сторону увеличения , а отрицательные – наоборот.

Из (1.1) можно записать

, (1.5)

где смещение во времени равно

. (1.6)

Тогда для начальной фазы получим

. (1.7)

Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом гармонического сигнала относительно функции . При сигнал смещается вправо по оси времени, при этом его начальная фаза , а если , то временная диаграмма смещается влево по оси времени, а . Величина начальной фазы зависит от начала отсчета времени (положения точки ). При смещении начала отсчета времени изменяется и начальная фаза.

Применительно к двум гармоническим сигналам и с разными начальными фазами и вводится в рассмотрение сдвиг фаз между первым и вторым сигналами,

. (1.8)

На рис. 1.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами и , причем и . В этом случае говорят, что первый сигнал опережает по фазе второй или второй сигнал отстает по фазе от первого.

Сдвиг фаз связан со смещением сигналов во времени

, (1.9)

положительные значения временного сдвига отсчитываются в направлении оси времени. Гармоническое колебание может быть задано в нетипичной форме, которую необходимо преобразовать к виду (1.1), иначе начальная фаза

Рис. 1.2 оказывается неопреде-

ленной. Примеры преобразования показаны в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Исходный сигнал	Преобразованный сигнал	Начальная фаза

1.2. Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Для гармонического сигнала (тока или напряжения) комплексная амплитуда равна

, .(1.10)

Комплексная амплитуда является комплексным числом ( - мнимая единица) и определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его час-

тоты. Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху.

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда равна В или В.

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 1.2.

Таблица 1.2.

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получим мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.

1.3. Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной. В алгебраической форме комплексное число (точка сверху используется для обозначения комплексной амплитуды сигнала, а если речь идет о комплексном сопротивлении или проводимости, то используется подчеркивание символа ) записывается в виде

, (1.12)

где - действительная, а - мнимая части комплексного числа, - мнимая единица.

В показательной форме комплексное число представляется выражением

, (1.13)

величину называют модулем, а - аргументом комплексного числа. От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

, (1.14)

а аргумент

(1.15)

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала, величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

(1.16)

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

(1.17)

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

.

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

.

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

.

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел и в алгебраической форме получим

. (1.18)

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и , при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

, (1.19)

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы числителя и знаменателя

. (1.20)

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что :

. (1.21)

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное число равно , то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

. (1.22)

Тогда при делении в алгебраической форме получим

(1.23)

Рассмотрим пример и , тогда

,

Эти операции можно провести и в показательной форме

,

,

,

.

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства (табл. 1.3.), вытекающие из формулы Эйлера,

(1.24)

Таблица 1.3.

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

1.4. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных

амплитуд токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде

или , (1.25)

где - полное комплексное сопротивление, а - полная комплексная проводимость участка цепи.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,

. (1.26)

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,

. (1.27)

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

1.5. Комплексные сопротивления и проводимости

элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 1.4 (запомните эти формулы).

Таблица 1.4

Элемент	R	L	C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые(действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома получим

, (1.28)

где - сдвиг фаз между напряжением и токомв

элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (1.28) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰ (на радиан), следовательно , тогда и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости , и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

1.6. Комплексные сопротивление и проводимость

участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по следующим правилам:

- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 1.3а при кОм и пФ и частоте кГц равно

кОм,

Рис. 1.3 а проводимость параллельной це-

пи на рис 5.1б -

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(1.29)

Для последовательной цепи на рис. 1.3а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю. Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

.

Тогда для проводимости получим

Сопротивление параллельного соединения двух элементов с сопротивлениями и определяется выражением

.

Комплексное сопротивление цепи со смешанным со-

единением элементов определяется следующим образом:

- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 1.4 при кОм, нФ, рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов и определяется его сопротивление , равное

Рис. 1.4 .

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 1.5.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

.

Подставляя исходные данные, получим

Рис. 1.5

Ом.