![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
1.1. Гармонический сигнал
Гармонический сигнал
где Рис. 1.1
Амплитуда гармонического сигнала – это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока). Период сигнала
измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл – число периодов колебаний в секунду. Аргумент косинуса в (1.1) вида
называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах. Круговая частота
и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с). При Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину Из (1.1) можно записать
где смещение во времени
Тогда для начальной фазы получим
Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом Применительно к двум гармоническим сигналам
На рис. 1.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами Сдвиг фаз
Рис. 1.2 оказывается неопреде- ленной. Примеры преобразования показаны в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
1.2. Комплексная амплитуда гармонического сигнала
Для гармонического сигнала (тока или напряжения)
Комплексная амплитуда является комплексным числом ( тоты. Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху. Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно
Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 1.2.
Таблица 1.2.
Если гармоническое напряжение имеет вид
1.3. Операции с комплексными числами
Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной. В алгебраической форме комплексное число
где В показательной форме комплексное число представляется выражением
величину
а аргумент
Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала, величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений
Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,
Например, если комплексное число в алгебраической форме равно
Если комплексное число равно
Для комплексного числа в показательной форме в виде
С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия. При сложении и вычитании комплексных чисел
Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму. Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда
а при делении делятся модули и вычитаются аргументы числителя и знаменателя
Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что
При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа
Тогда при делении в алгебраической форме получим
Рассмотрим пример
Эти операции можно провести и в показательной форме
Как видно, полученные результаты совпадают. Полезно запомнить следующие равенства (табл. 1.3.), вытекающие из формулы Эйлера,
Таблица 1.3.
Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.
1.4. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений
Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений. Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде
где Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,
Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.
1.5. Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи
Значения комплексных сопротивлений
Таблица 1.4
Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления Для комплексного сопротивления
где элементе. Для сопротивления В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 900 (на
1.6. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи
Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по следующим правилам: - комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений; - комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.
Рис. 1.3 а проводимость параллельной це- пи на рис 5.1б -
Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,
Для последовательной цепи на рис. 1.3а ее проводимость равна
Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю. Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,
Тогда для проводимости получим
Комплексное сопротивление цепи со смешанным со- единением элементов определяется следующим образом: - в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость; - фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие; - эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.
Тогда параллельный фрагмент
Подставляя исходные данные, получим Рис. 1.5
|