ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

3.1. Частотные характеристики четырехполюсников

Четырехполюсником называют цепь с четырьмя полюсами (выводами, контактами), разделенными на пару входных и пару выходных полюсов, как показано на рис. 3.1.

Свойства электрической цепи с реактивными элементами зависят от частоты сигнала. Частотными называют характеристики цепи, рассматри-

Рис. 3.1 ваемые в заданном диапа-

зоне частот. В инженерной

практике рассматриваются различные частотные характеристики. Чаще всего свойства четырехполюсника анализируются при гармонических воздействиях, которые описываются комплексными амплитудами. В линейном четырехполюснике при гармоническом воздействии все токи и напряжения являются также гармоническими с той же частотой.

3.2. Входное и выходное сопротивления

четырехполюсника

В качестве частотных характеристик рассматриваются входное и выходное сопротивления как функция частоты сигнала. По определению при заданном сопротивлении нагрузки четырехполюсника , подключенном к его выходу, равны

.

Выходное сопротивление определяется при известном внутреннем сопротивлении источника входного сигнала,

.

Знание этих характеристик необходимо при анализе возможностей подключения к четырехполюснику реального источника сигнала и нагрузки.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 3.2, в состав которой входят источник входного сигнала (реальный источник гармонического напряжения с комплексной амплитудой и частотой ), RC - четырехполюсник и нагрузка .

Рис. 3.2

Схема цепи для определения входного сопротивления нагруженного четырехполюсника показана на рис. 3.3. Величина определяется выражением

Рис. 3.3

.

При активной нагрузке , умножая числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженный множитель, получим

,

модуль входного сопротивления равен

,

а активную и реактивную составляющие можно записать в виде

,

.

На рис. 3.4 приведены зависимости от частоты модуля и активной составляющей входного сопротивления четырехполюсника при кОм и нФ.

На рис. 3.5 показана зависимость от частоты реактивной составляющей входного сопротивления четырехполюсника.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Как видно, входное сопротивление четырехполюсника существенно изменяется в выбранном диапазоне частот и имеет емкостный характер. Модуль и активная составляющая сопротивления уменьшаются с ростом частоты от значения при до на бесконечной частоте (на высоких частотах емкость шунтирует нагрузку).

Знание входного сопротивления четырехполюсника необходимо при анализе возможностей подключения к нему реального источника напряжения, схема входной цепи показана на рис. 3.6.

Если необходимо обеспечить максимум амплитуды входного напряжения , то по закону Ома получим

.

Представляя и , можно записать

.

Анализ полученного выражения известными методами может быть задачей исследовательской части курсовой работы (проекта).

Если решается задача

Рис. 3.6 обеспечения максимума мощно-

сти , потребляемой четырехполюсником от источника сигнала, то из общего выражения

,

где - комплексно сопряженная амплитуда входного тока, получим

,

где - комплексно-сопряженная ЭДС источника, а - оператор вычисления реальной части числа. С учетом того, что произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату их модуля, можно записать

,

в результате получим

.

Из полученного выражения нетрудно получить условие максимума потребляемой четырехполюсником (рис. 3.6) мощности (условие согласования четырехполюсника с источником сигнала),

Полученные результаты можно использовать в исследовательской части курсовой работы.

Аналогичный анализ можно провести и для выходной цепи четырехполюсника, рассматривая условия максимизации выходного напряжения на нагрузке, или выделяемой в ней мощности.

3.3. Комплексный коэффициент передачи

Чаще всего в качестве частотных характеристик рассматривается его коэффициент передачи. Комплексный коэф-

фициент передачи по напряжению определяется выражением

. (3.1)

Аналогично вводятся в рассмотрение комплексный коэффициент передачи тока

(3.2)

и коэффициент (не комплексный) передачи мощности

, (3.3)

где - мощность, потребляемая четырехполюсником, а - мощность, передаваемая в нагрузку.

Для расчета коэффициентов передачи необходимо при заданном источнике входного сигнала определить комплексные амплитуды входного и выходного напряжений или токов (а при необходимости и величины мощностей).

В качестве примера рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 3.7, и определим его комплексный коэффициент передачи напряжения вида (3.1).

Рис. 3.7

Расчет целесообразно провести, подключив на вход четырехполюсника идеальный источник напряжения с ЭДС , как показано на рис. 3.8, методом узловых напряжений. В цепи имеется два узла, следовательно необходимо определить единственное узловое напряжение .

Рис. 3.8

Выражая через токи ветвей, и используя первый закон Кирхгофа, получим уравнение метода узловых напряжений в виде

После алгебраических преобразований получим

. (3.4)

Тогда по Закону Ома можно определить выходное напряжение

.

Подставляя (3.4), с учетом получим

.

Тогда комплексный коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению равен

. (3.5)

Как видно, - комплексная функция частоты сигнала, ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ). Графически она отображается линией в трехмерном пространстве, что неудобно практически.

На плоскости КЧХ изображается в виде годографа. Для его построения заданный интервал частот разбивается с равномерным шагом, для каждого значения частоты вычисляются и отображаются на комплексной плоскости по осям абсцисс и ординат соответственно действительная и мнимая составляющие комплексного коэффициента передачи.

Пример годографа КЧХ цепи на рис. 3.8 при кОм, мГн и нФ показан на рис. 3.9. Стрелка показывает направление увеличения частоты входного

Рис. 3.9 сигнала. На частоте

величина действительна, а точка годографа расположена на оси абсцисс.

3.4. Амплитудно-частотная и фазочастотная

характеристики четырехполюсника

Комплексный коэффициент передачи четырехполюсника можно представить в показательной форме

, (3.6)

где - его модуль, а - аргумент.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) представляет собой зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это зависимость от частоты аргумента комплексного коэффициента передачи.

Обычно выражение для представляет собой дробь с комплексными числителем и знаменателем, которую необходимо представить в виде

. (3.7)

Тогда модуль частного (дроби) равен частному модулей числителя и знаменателя:

, (3.8)

а ее аргумент – разности аргументов числителя и знаменателя:

. (3.9)

Аргумент комплексного числа определяется выражением

(3.10)

Определим АЧХ и ФЧХ цепи, показанной на рис. 3.7. Ее комплексный коэффициент передачи по напряжению определяется выражением (3.5). Тогда его модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) соответственно равны

, (3.11)

(3.12)

где

. (3.13)

На рис. 3.10 показан график АЧХ четырехполюсника,

показанного на рис. 3.7 при кОм, мГн и нФ. Как видно, он представляет собой полосовой фильтр. Максимум АЧХ имеет место на частоте из (3.13), в чем нетрудно убедиться, взяв производную и приравняв ее нулю. На рис. 3.11 приведен график ФЧХ четырехполюсника.

Рис. 3.10

Рис. 3.11

На частотах ФЧХ , то есть выходное напряжение опережает по фазе входное, а если , то наоборот. На частоте сдвиг фаз между этими напряжениями равен нулю (они синфазны).

3.5. Характеристики избирательности

Избирательность характеризует способность четырехполюсника со свойствами частотного фильтра хорошо передавать на выход сигналы одних частот и подавлять сигналы на других частотах.

Для четырех основных типов фильтров: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовых (ПФ) и режекторных (РФ), типовые графики амплитудно-частотных характеристик показаны на рис. 3.12.

Фильтры нижних частот (ФНЧ) и полосовые

Рис. 3.12 фильтры (ПФ) характеризуют

прежде всего полосой пропускания – диапазоном частот, внутри которого АЧХ уменьшается не более, чем в раз или на 3 дБ (децибела) относительно максимального значения. Это определение применительно к полосовому фильтру иллюстрирует график на рис. 3.13. Прежде всего определяется максимум АЧХ и величина АЧХ на границе полосы пропускания, равная . Затем по графику или из решения уравнения вида

Рис. 3.13

(3.14)

находятся частоты и , соответствующие границам полосы пропускания, которые называют частотами среза. Тогда полоса пропускания равна

. (3.15)

Для фильтров верхних частот (ФВЧ) и режекторных фильтров (РФ) полоса пропускания бесконечна, и для их описания используется полоса удержания - диапазон частот, внутри которого АЧХ уменьшается более, чем в раз или на 3 дБ (децибела) относительно максимального значения, что иллюстрирует график, показанный на рис. 3.14. Расчет проводится аналогично предыдущему и

Рис. 3.14

, (3.16)

а частоты среза определяются из уравнения (3.14).

Полоса пропускания (удержания) характеризует частотный диапазон, в котором фильтр выполняет заданные функции передачи (не прохождения) сигнала. Как видно из приведенных рисунков, характер передачи сигнала меняется достаточно плавно и представляют интерес характеристики избирательности, показывающие резкость перехода от пропускания до удержания сигнала при изменении частоты.

Наилучшей избирательностью обладает идеальный фильтр с прямоугольной АЧХ и прямолинейной ФЧХ, как показано на рис. 3.15 для ПФ.

Рис. 3.15

Такой идеальный фильтр физически нереализуем, но к его частотным характеристикам можно приблизиться за счет усложнения схемы реального фильтра.

Мерой близости АЧХ реального фильтра к показанной на рис. 3.15а является коэффициент прямоугольности . Для ФНЧ и ПФ он равен отношению полосы пропускания на уровне (-3 дБ) к аналогичной полосе пропускания на уровне (-20 дБ),

.(3.17)

Расчет иллюстрирует рис. 3.16. Полоса вычисляется из уравнения

. (3.18)

Рис. 3.16

Для ФВЧ и РФ коэффициент прямоугольности равен обратной величине

.(3.19)

Для реальных фильтров величина всегда меньше единицы. Чем ближе к 1, тем выше избирательность частотного фильтра.

Рассмотрим пример цепи на рис. 3.7. Выражение для АЧХ имеет вид (3.11). Максимум АЧХ имеет место на частоте (3.13) и равен

. (3.20)

Тогда согласно (3.14) уравнение для полосы пропускания имеет вид

, (3.21)

Возводя обе части (3.21) в квадрат и проведя алгебраические преобразования с учетом (3.13), получим уравнение

(3.22)

где константа равна

. (3.23)

Решение биквадратного уравнения (3.21) имеет вид

. (3.24)

Из (3.23) можно записать, что

, (3.25)

тогда и подкоренные выражения в (3.24) всегда положительны.

Если представить выражение для из (3.25) в виде

, (3.26)

где

, (3.27)

то из (3.24) получим выражение для частот среза

, (3.28)

а величина из (3.27) безразмерна, положительна и определяется параметрами четырехполюсника. Полоса пропускания равна разности верхней и нижней частот среза

. (3.29)

Если возвести обе части выражения (3.29) в квадрат, то можно записать

= ,

тогда получим

. (3.30)

На рис. 3.17 показаны зависимости от параметра нормированных к значений частот среза и полосы пропускания

, , .

Рис. 3.17

Как видно, при частоты и равны , полоса пропускания равна нулю. Согласно (3.27), малые значения обеспечиваются при и . С ростом полоса пропускания расширяется, практически стремясь к вели-

чине . При кОм, мГн и нФ получим , рад/с, рад/с, при этом полоса пропускания равна рад/с или кГц.

Вычислим коэффициент прямоугольности, для этого определим полосу пропускания на уровне 0,1 от максимума АЧХ из уравнения вида

. (3.31)

С учетом выражения для АЧХ (3.11) можно записать уравнение для граничных частот полосы пропускания

. (3.32)

Как и для (3.21), возводя обе части уравнения (3.31) в квадрат и проведя алгебраические преобразования с учетом (3.13), получим уравнение

(3.33)

где константа равна

. (3.34)

Как видно, величина отличается от полученной ранее константы множителем перед вторым слагаемым. Решение биквадратного уравнения (3.32) имеет вид

. (3.35)

Представим выражение для из (3.33) в виде

, (3.36)

где

, (3.37)

тогда из (3.34) получим аналогичное (3.28) выражение для частот среза

. (3.38)

Полоса пропускания равна разности верхней и нижней частот среза

. (3.39)

Аналогично (3.30) нетрудно получить

. (3.40)

Сравнивая величины (3.27) и (3.37), получим

. (3.41)

В результате выражение для коэффициента прямоугольности согласно (3.17) принимает вид

. (3.42)

Коэффициент прямоугольности рассматриваемой цепи, схема которой приведена на рис. 3.8, не зависит от ее параметров и равен 0,1.

3.6. Расчет реакции цепи на сложное входное воздействие

В качестве факультативного задания при выполнении курсовой работы можно провести расчет сигнала на выходе заданной цепи при воздействии на ее вход импульсной последовательности, примеры которой показаны на рис. 3.18.

Рис. 3.18.

Известны [1,2] методы расчета реакции цепи на сложное входное воздействие (частотный, операторный, временной). В данном случае целесообразнее использовать временной метод (метод интеграла Дюамеля), в рамках которого выходное напряжение четырехполюсника равно

, (3.43)

где - входное напряжение, равное нулю при , - импульсная характеристики цепи.

Переходная характеристика безразмерна и численно равна реакции (выходному сигналу) четырехполюсника на входное воздействие в виде единичной функции (известной в математике функции Хевисайда) вида рис. 3.19а.

Импульсная характеристика имеет размерность и численно равна реакции цепи на входное воздействие в виде дельта-функции (функции Дирака) , показанной на рис. 3.19б.

Рис. 3.19.

Расчет временных характеристик цепи и проводится с помощью операторного коэффициента передачи , который определяется через комплексный коэффициент передачи заменой .

Переходная характеристика является обратным преобразованием Лапласа от ,

, (3.44)

где - символ взаимно однозначного соответствия.

Импульсная характеристика является обратным преобразованием операторного коэффициента передачи

. (3.45)

Преобразование Лапласа проводится по таблицам [1].

В таблицах преобразования Лапласа изображение представляется в виде правильной дроби, числитель и знаменатель которой является произведением простейших сомножителей, в каждом из которых коэффициент при старшей степени равен единице.

Рассмотрим пример расчета временных характеристик цепи, показанной на рис. 3.20а, ее операторная эквивалентная операторная схема приведена на рис. 3.20б (аналогичный расчет можно провести в исследовательской части курсовой работы).

Рис. 3.20

Определим операторный коэффициент передачи методом узловых напряжений. В цепи на рис. 3.20б два узла и единственное узловое напряжение обозначено как , тогда для токов ветвей получим

,

,

.

Подставив их в уравнение первого закона Кирхгофа вида

, для узлового напряжения получим уравнение

,

из которого определим узловое напряжение

(3.46)

Выходное напряжение четырехполюсника на рис. 3.20б связано с узловым напряжением соотношением

,

тогда с учетом (3.46) получим

(3.47)

Из (3.47) определим операторный коэффициент передачи в виде (проведите преобразования самостоятельно)

, (3.48)

где

(3.49)

Для простоты положим одинаковыми одноименные параметры цепи,

(3.50)

тогда для параметров операторного коэффициента передачи из (3.49) получим

(3.51)

Выражение (3.48) можно записать в виде

, (3.52)

где и - полюсы - корни полинома знаменателя,

. (3.53)

С учетом (3.51) можно записать

, (3.54)

в результате получим

(3.55)

Выражение (3.52) можно представить в виде

. (3.56)

Константы и можно определить, сложив дроби в (3.56) и уравняв коэффициенты с (3.52). Из (3.56)

(3.57)

тогда (3.52) для и получим уравнения

(3.58)

из которых

(3.59)

Из (3.56) по таблицам преобразования Лапласа определим переходную характеристику цепи как оригинал , тогда

(3.60)

(проведите расчет самостоятельно).

Для расчета импульсной характеристики преобразуем с учетом операторный коэффициент передачи (3.56) к виду

, (3.61)

тогда импульсная характеристика цепи будет равна оригиналу

. (3.62)

Как видно, в состав входит -функция (функция Дирака). Нетрудно убедиться, что импульсная характеристика является производной от переходной характеристики (проверьте это самостоятельно).

Графики рассмотренных временных характеристик и (без -функции) цепи рис. 3.20а при кОм и мГн показаны на рис. 3.21а и рис. 3.21б соответственно.

Рис. 3.21

Определим реакцию цепи рис. 3.20а на входное воздействие в виде скачка напряжения с амплитудой , показанного на рис. 3.22а.

Рис. 3.22

Входной сигнал можно записать в виде

, (3.63)

где - функция Хевисайда.

Эту задачу можно решить просто, вспомнив определение переходной характеристики цепи (это реакция цепи на входной воздействие в виде единичного скачка напряжения – функции Хевисайда с амплитудой 1 В).

В результате выходное напряжение линейной цепи на рис. 3.20а будет равно

. (3.64)

Определим выходное напряжение методом интеграла Дюамеля [3] (3.43),

. (3.65)

Из (3.60) с учетом (3.58) , тогда при и

. (3.66)

В соответствии с «фильтрующим свойством -функции»

, (3.67)

тогда с учетом того, что переменная является константой в интеграле по , получим

(3.68)

Вычислим интегралы, тогда

(3.69)

Как видно, полученный результат совпадает с (3.64).

Проведем расчет реакции цепи (рис. 3.20а) на входное воздействие в виде одиночного прямоугольного импульса, показанного на рис. 3.22б. Для этого можно использовать два подхода.

В первом из них импульс на рис. 3.22б можно представить суммой двух скачков напряжения и , как показано на рис. 3.23.

Рис. 3.23

Реакция цепи на входной сигнал пропорциональна переходной характеристике (2.60) с коэффициентом ,

. (3.70)

Аналогично входное воздействие (рис. 3.23) вызовет реакцию цепи , пропорциональную переходной характеристике с коэффициентом , в виде формулы

, (3.71)

справедливой только при . В результате получим выражение для выходного напряжения

(3.72)

где - функция Хевисайда,

(3.73)

Зависимость показана на рис. 3.24.

Второй подход предполагает прямое применение формулы интеграла Дюамеля (3.43). На интервале времени входной сигнал равен (рис. 3.23), тогда с учетом (рис. 3.21) и выражения для импульсной характеристики (3.62) получим

(3.74)

что совпадает с (3.70) (проведите преобразования самостоятельно).

Рис. 3.24

На интервале времени входной сигнал равен нулю и тогда для интеграла Дюамеля получим

. (3.75)

Тогда с учетом (3.62)

(3.76)

В (3.76) интеграл

так как и на интервале интегрирования . Сравните формулы (3.76) и (3.72) в области и убедитесь в их совпадении.

Как видно, имеется возможность аналитического определения выходного сигнала.

Для нахождения выходного сигнала можно использовать методы численного интегрирования с помощью систем объектно ориентированного программирования (например, Delphi) или пакета программ MathCAD, пример которой в рассматриваемом случае показан на рис. 3.25. Как видно, полученная на рис. 3.25 временная диаграмма выходного сигнала совпадает с показанной на рис. 3.24.

Аналогичные расчеты целесообразно провести в рамках исследовательской части курсовой работы.

Рис. 3.25