И НАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

2.1. Расчет токов и напряжений на основе закона Ома

С помощью закона Ома можно определять токи и напряжения в сравнительно простых цепях с одним источником сигнала.

Расчет проводится следующим образом. Прежде всего определяется комплексное входное сопротивление (или проводимость) цепи относительно точек ее подключения к источнику. Затем при известной ЭДС источника напряжения по закону Ома находится общий ток цепи, а при заданном источнике тока - общее напряжение на ее зажимах.

Далее цепь представляется как последовательное или параллельное соединение двухполюсников и вычисляются либо напряжения на них, либо протекающие через них токи. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока не будут определены искомые токи или напряжения.

В качестве примера рассмотрим расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 2.1 при ЭДС источника

В, кОм и нФ.

Определим общее сопротивлениие цепи отно-

Рис. 2.1 сительно полюсов источ-

ника:

Ом

и комплексную амплитуду ЭДС заданного источника напряжения

В,

тогда комплексная амплитуда общего тока цепи равна

мА.

По закону Ома комплексная амплитуда напряжения на сопротивлении запишется в виде

В.

Напряжения на параллельно соединенных элементах и одинаковы и их комплексные амплитуды равны

По найденным напряжениям найдем токи в элементах и :

Проведем расчет всех токов и напряжений в более сложной цепи, показанной на рис. 2.2, при заданных параметрах элементов схемы и источника, В, кОм, нФ и мГн.

Составим комплексную схему замещения указанной цепи. Для этого при заданной временной зависимости находим комплексную амплитуду В. Определяем комплексное сопротивление каждого из элементов:

Ом, Ом,

Ом, Ом, Ом.

Рис. 2.2

Комплексная схема замещения цепи будет иметь вид, показанный на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Проведем упрощение конфигурации схемы цепи на рис. 2.3 до простейшей, как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4

Первоначальный вид схемы представлен на рис. 2.4а. Из схемы видно, что сопротивления и соединены параллельно. Тогда их можно заменить эквивалентным сопротивлением Ом, что приводит к схеме, показанной на рис. 2.4б. Из последней схемы видно, что сопротивления и соединены последовательно. Это соединение можно заменить сопротивлением Ом. Получим схему, представленную на рис. 2.4в. В этой схеме сопротивления и соединены параллельно, что позволяет перейти к схеме рис. 2.4г, где

Ом,

и наконец, упрощая схему рис. 2.4г, получим простейшую эквивалентную схему рис. 6.4д, где

Ом.

Дальнейший расчет цепи осуществим в обратном порядке. Из схемы рис. 2.4д определяем ток (начальные фазы вычисляются в радианах):

мА.

Затем переходим к схеме рис. 2.4г. Зная , находим напряжения и :

Следующий этап – расчет цепи рис. 2.4в. Так как известно, то определяем токи и :

Теперь рассчитываем схему рис. 2.4б. По известному току находим напряжения и :

И, наконец, из схемы рис. 6.4а находим токи и :

Схема полностью рассчитана, программа вычислений в пакете MathCAD2001 показана на рис. 2.5.

Как видно из схемы цепи на рис. 2.2, напряжение на элементах L и одинаковы, ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, а ток в индуктивности отстает от него по фазе на . Тогда ток в индуктивности должен отставать по фазе на от тока в сопротивлении , что соответствует результатам расчета (1,833-0,262= ).

Рис. 2.5

Проверку правильности результатов расчета можно провести с использованием первого и второго законов Кирхгофа, результаты показаны на рис. 2.5.

2.2. Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В схеме цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов , число ветвей , не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего уравнений. Для узлов формируются уравнения первого закона Кирхгофа, а для независимых контуров – уравнения второго закона Кирхгофа, всего топологических уравнений. Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений.

Рассмотрим пример ранее рассмотренной цепи рис. 2.2, схема которой показана на рис. 2.6. В ней изменены обозначения напряжений на элементах и .

Рис. 2.6.

В цепи узла и ветвей (идеальные источники тока отсутствуют). Для каждого элемента цепи по закону Ома запишем подсистему компонентных уравнений для комплексных амплитуд напряжений и токов:

,

,

, (2.1)

,

.

Для двух верхних узлов цепи запишем уравнения первого закона Кирхгофа

(2.2)

В цепи (рис. 2.6) имеется независимых контура, для которых можно записать уравнения второго закона Кирхгофа

(2.3)

Подставляя (2.1) в (2.3) совместно с (2.2) получим систему уравнений для токов ветвей

(2.4)

Решить систему уравнений можно методом подстановки. Из второго уравнения (2.4) , а с учетом этого из первого уравнения , тогда получим

(2.5)

Из последнего уравнения (2.5) можно записать

, (2.6)

при этом из (2.5) получим систему двух уравнений вида

(2.7)

Из последнего уравнения (2.7) выразим ток :

, (2.8)

и, подставив его в первое уравнение, определим ток :

. (2.9)

Тогда из (2.8) получим

, (2.10)

а из (2.6) с учетом (2.9) соответственно

. (2.11)

Из уравнений первого закона Кирхгофа определим остальные токи,

, (2.12)

. (2.13)

Численные расчеты токов проведены с помощью пакета программ MathCAD2001, листинг программы и результаты показаны на рис. 2.7. Как видно, получены те же значения комплексных амплитуд токов в алгебраической форме, что и в предыдущем примере.

По найденным токам ветвей с помощью уравнений закона Ома (2.1) определяются напряжения на элементах цепи.

При выполнении курсовой работы расчеты токов и напряжений необходимо провести аналитически, получив соответствующие выражения (формулы), подобные (2.9) - (2.13). Это позволяет:

- контролировать правильность расчетов по размерности складываемых в формулах величин;

- изучать зависимость полученных результатов от частоты сигнала и параметров цепи;

- получать необходимые выражения для расчетов характеристик цепи.

Рис. 2.7.

2.3. Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для независимых контуров, где - общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные

направления комплексных амплитуд кольцевых контурных токов , - номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит уравнений для комплексных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

Проведем расчет цепи, схема которой показана на рис. 2.2 при указанных для нее исходных данных. Схема цепи с обозначенными контурными токами приведена на рис. 2.8.

Рис. 2.8

В цепи узла и ветвей, тогда по методу контурных токов необходимо составить уравнения.

Выразим напряжения ветвей через контурные токи. Для тока можно записать и тогда по закону Ома получим . Ток определяется токами (он совпадает по направлению с током ) и (он протекает в противопо-

ложном направлении), в результате получим и по закону Ома . Аналогично можно записать , и .

По второму закону Кирхгофа необходимо записать три уравнения:

Подставляя выражения для напряжений ветвей, получим систему уравнений метода контурных токов в виде

Из последнего уравнения выразим ток :

,

и подставим его в два первых уравнения. В результате после группирования получим систему из двух уравнений вида

Из второго уравнения после преобразования получим

,

тогда из первого уравнения найдем ток :

.

Проведя алгебраические преобразования, получим выражение для контурного тока :

,

и далее для остальных контурных токов:

,

,

и далее определяем токи ветвей. Нетрудно убедиться, что результаты совпадают с ранее полученными выражениями.

2.4. Метод узловых напряжений (потенциалов)

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа. В цепи выделяются потенциальных узлов, последний -й узел объявляется базисным (ему присваивается нулевой потенциал, он отмечается символом «земля»), а для остальных задаются узловые напряжения(потенциалы) с положительным направлением в базисный узел.

Через узловые напряжения с помощью закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей цепи, которые подставляются в уравнений первого закона Кирхгофа, в результате получается система уравнений метода узловых напряжений.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 2.2 при указанных для нее исходных данных. Схема цепи с обозначенными узловыми напряжениями и для потенциальных узлов, обозначенных цифрами 1 и 2 в кружках, приведена на рис. 2.9, нижний узел обозначен как базисный (с номером 0) и отмечен символом «земля».

Рис. 2.9

Выразим комплексные амплитуды токов ветвей через узловые напряжения. Для контура по второму закону Кирхгофа , тогда по закону Ома

.

Для тока получим

,

а для контура по второму закону Кирхгофа и закону Ома получим

.

Для ветвей и из закона Ома следует

и .

Уравнения первого закона Кирхгофа для цепи на рис. 2.9 имеют вид

Подставляя в них найденные токи ветвей, получим систему уравнений метода узловых напряжений

(2.14)

Из второго уравнения выразим :

,

и подставим результат в первое уравнение

,

из которого определим узловое напряжение в виде

.

Проведя алгебраические преобразования и перегруппировку слагаемых, окончательно получим

.

Если обратиться к проведенному ранее расчету цепи методом контурных токов, нетрудно убедиться, что . Тот же результат следует и из расчета общим методом на основе уравнений Кирхгофа (формулы (2.1) и (2.9)).

Подставляя в выражение для , получим

.

Численное решение системы уравнений по методу узловых напряжений можно провести в пакете программ MathCAD2001, как показано на рис. 2.10. Как видно, полученные узловые напряжения В и В совпадают с напряжениями на элементах и , полученными ранее общим методом расчета.

Рис. 2.10

2.5. Рекомендации по проведению расчетов гармонических токов и напряжений

Для расчета гармонических токов и напряжений в линейной электрической цепи могут использоваться различные методы, базирующиеся на представлении гармонических сигналов их комплексными амплитудами.

Для сравнительно простой цепи с одним источником сигнала целесообразно использовать метод, основанный на последовательном применении закона Ома.

Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа требует составления и решения уравнений ( - число ветвей). По

методу контурных токов решается уравнений ( - число узлов), а по методу узловых напряжений - уравнений. Тогда, если , то эффективнее использовать метод контурных токов, а в противном случае – метод узловых напряжений.

Расчет целесообразно проводить аналитически, получая конечные формулы для искомых величин. Это дает возможность получать общие выражения, на основе которых можно исследовать свойства цепи (например, зависимость токов и напряжений от частоты сигнала).

Полученные формулы дают возможность обнаруживать в них алгебраические ошибки. Например, если получено выражение для напряжения в виде

,

то в нем, очевидно, имеется ошибка, так как в знаменателе суммируются величины не одинаковой размерности(сопротивление и проводимость).Формула вида

также ошибочна, так как правая часть представляет собой ток, а не напряжение.

Для устранения подобных ошибок необходимо проверить корректность алгебраических преобразований.

2.6. Построение векторной диаграммы цепи

Векторной диаграммой электрической цепи называют совокупность векторов, соответствующих гармоническим то-

кам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала , а угол наклона вектора к горизонтальной оси – его начальной фазе(рис. 2.11).

Пусть в результате расчета цепи, схема которой показана на рис. 2.12 при , В, , рад/с, кОм и нФ, получены мгновенные значения токов и напряжений, приведенные в таблице (проведите соответствующие расчеты).

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 2.13 по данным таблицы, длина вектора равна амплитуде сигнала, а угол отклонения от горизонтальной оси - начальной фазе (отсчет положительных значений угла против часовой стрелки).

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Сигнал	Амплитуда	Начальная фаза
	В
	мА
	В
	В

Как видно, вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения на сопротивлении, их длины ( мо-

дули) не одинаковы, так как масштабы (например, В/см и мА/см) токов и напряжений различны (ток и напряжение не сравнимы между собой). Ток протекает через емкость и опережает по фазе напряжение емкости на 90⁰. Тогда напряжение на сопротивлении опережает по фазе напряжение на емкости на 90⁰.

Сумма векторов напряжений на сопротивлении и емкости в цепи рис. 2.12 по второму закону Кирхгофа (в векторной форме) равна ЭДС источника, что и показано на векторной диаграмме рис. 2.13.

Векторная диаграмма цепи может быть построена по результатам расчета всех гармонических токов и напряже-

ний. В этом случае она иллюст- Рис. 3.13

рирует амплитудные и фазовые

соотношения между заранее рассчитанными токами и напряжениями.

Векторную диаграмму можно построить «качественно» (без знания точных параметров векторов, но с правильными соотношениями между ними) и не проводя численных расчетов.

Рассмотрим пример RC цепи, показанной на рис. 2.14, в которой заданы положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений. Прежде всего, необходимо проанализировать структуру цепи. В ней присутствует параллельный фрагмент (соединение эле-

элементов C и R₂), Рис. 2.14

который соединен последовательно с сопротивлением R₁ и источником напряжения . Тогда построение целесообразно начать с напряжения на параллельном фрагменте, при этом , этот вектор проведем произвольно по модулю и направлению, например, горизонтально, как показано на рис. 2.15.

Ток совпадает по фазе с напряжениями , а ток опережает их по фазе на 90⁰. Соответствующие векторы изображены на диаграмме рис. 2.15 с произвольной длиной и указанными угловыми соотношениями относительно вектора . Векторная сумма этих токов по первому закону Кирхгофа равна току , то есть этот вектор строится исходя из векторов и . Вектор напряжения на сопро-

Рис. 2.15 тивлении R₁ совпадает

по направлению с вектором тока и имеет произвольную длину, а вектор ЭДС по второму закону Кирхгофа равен сумме векторов и . На этом построение «качественной» векторной диаграммы цепи заканчивается.

Если цепь содержит последовательный фрагмент, входящий в смешанное соединение, то построение целесообразно начинать с вектора тока этого фрагмента.

Векторная диаграмма электрической цепи может использоваться для формирования аналитических выражений, связывающих амплитуды (действующие значения) и начальные фазы гармонических сигналов в цепи. Например, для диаграммы рис. 2.15 амплитуды (действующие значения) токов

, и по теореме Пифагора связаны выражением . Для других соотношений можно использовать теорему косинусов.

Для сложной цепи построение «качественной» векторной диаграммы требует вдумчивого подхода при выборе начального вектора и способов построения остальных векторов.

2.7. Расчет мощности, потребляемой цепью от

источника гармонического сигнала

Если к линейному пассивному двухполюснику (обозначенному как ДП на рис. 2.16) приложено гармоническое напряжение и через него протекает гармонический ток , то потребляемая мощность равна

, (2.15) Рис. 2.16

где и - амплитуды напряжения и тока, а и - их действующие значения, а - сдвиг фаз между напряжением и током. Величину называют коэффициентом мощности.

Таким образом, для расчета потребляемой мощности в цепи с одним источником необходимо рассчитать амплитуды (действующие значения) напряжения и тока и сдвиг фаз между ними.

В качестве примера рассмотрим цепь с одним источником, показанную на рис. 2.1, в которой при заданной входной ЭДС с амплитудой 5В и начальной фазой был опре-

делен общий ток с амплитудой 3,162 мА и начальной фазой . Сдвиг фаз между ними , а потребляемая мощность равна

мВт.

В цепи с несколькими источниками сигнала для расчета потребляемой мощности можно воспользоваться методом наложения.

Можно использовать другой подход, основанный на том, что в электрической цепи мощность потребляется только сопротивлениями. Тогда необходимо определить токи (или напряжения) во всех сопротивлениях, найти потребляемые в них мощности по формулам:

, (2.16)

а затем сложить мощности во всех сопротивлениях.

Возвращаясь к схеме цепи на рис. 2.1, воспользуемся найденными амплитудами токов в двух сопротивлениях мА и мА. Мощности и , потребляемые в сопротивлениях и , соответственно равны

мВт,

мВт,

тогда потребляемая цепью мощность равна

мВт.

Как видно, получен тот же результат. Равенство полной мощности сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями цепи, называют условием баланса мощностей. Его можно использовать для проверки правильности расчетов токов и напряжений.

Для расчета мощности можно использовать и комплексные амплитуды напряжения и тока,

, (2.17)

где - комплексно сопряженная амплитуда тока, равная

. (2.18)

Например, в цепи на рис. 2.1 комплексная амплитуда ЭДС (напряжения) равна В, а общего тока соответственно мА., тогда и из (2.17) получим

Условие баланса мощности вида , можно использовать для дополнительной проверки правильности расчета токов и напряжений.