Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется a(х) называется бесконечно малой величиной в какой-то точке a, если она имеет нулевой предел в этой точке: .

Пример 1. α(x) = 4x – 20 – бесконечно малая величина в точке х = 5, так как при х®5 будет .

Пример 2. β(x) = ln(3x – 8) – бесконечно малая величина в точке х = 3, так как при х®3 будет .

Зная определение предела функции при х®а и при х®∞, дадим развернутое определение бесконечно малой величины с помощью кванторов:

при х®а:

,

при х®∞:

.

Существует связь бесконечно малой величины с функцией, имеющей конечный предел: функция f(x) в какой-то точке а имеет конечный предел b тогда и только тогда, если она вблизи этой точки а отличается от числа b на бесконечно малую функцию, т.е.

ó f(x) = b + α(x), где .

Пример 3. α(x)=4x–20 – бесконечно малая величина в точке х = 5, а функция f(x)=х²+3 в этой же точке х=5 имеет конечный предел: .

Тогда при х®5 будет f(x)=b+α(x) ó х²+3=28+4x–20=8+4x.