КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные свойства пределов (теоремы о пределах)1. Функция не может иметь более одного предела. Докажем это свойство. Предположим противное, т.е. что функция f(x) имеет два разных предела b и с: , , b ≠ c. Поскольку утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у – b есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины α(x) = f(x) – b, β(x) = f(x) – c бесконечно малы при х → а. Вычитая почленно эти равенства, получим α(x) – β(x) = с – b ≠ 0, что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х → а, имеем: . Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. 2. Предел постоянной величины y = с есть само число с: lim с = с. Пусть y, …, z, u, v – функции, для которых существуют пределы в точке а (не исключаем случая а = ∞). 3. Предел алгебраической суммы (т.е. сумма или разность) конечного числа функций y, u, ..., z равен такой же сумме пределов этих функций: lim(y ± u ±....± z) = limy ± limu ±....± limz; 4. Предел произведения конечного числа функций y, u, ..., z равен произведению пределов этих функций: lim(y · u ·...· z) = limy ·limu ·...·limz. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. 5. Предел частного равен частному пределов: . Если предел делителя равен нулю (limj = 0), аlimu = с ≠ 0, то запись следует понимать в том смысле, что . Таким образом, будем считать, что . Аналогичные записи можно применять и для односторонних пределов: Пример 1. . Если limu=0 и limj=0, теорема неприменима, так как выражение является неопределенным. Но теорема остается верной. «Сокращать» на нуль и писать 1 вместо нельзя. Этот символ закрывает прямой путь подстановки и заставляет искать путь раскрытия этой неопределенности (например, с помощью сокращения общих множителей). 6. Пусть y=f(u), u=φ(x). Тогда y=f(φ(x)) – сложная функция. Если , , то предел сложной функции . 7. Если limf(x) = b > 0, limg(x)= c, то имеет место соотношение lim(f(x))g(x) = (lim(f(x))limg(x) = bc. 8. Если в некоторой окрестности точки а (окрестностью точки ∞ считаем множество достаточно больших х) выполняется нестрогое неравенство f(x)≤g(x), то для соответствующих пределов выполнено нестрогое неравенство: . (Заметим, что если в окрестности точки а выполняется строгое неравенство f(x)<g(x), то утверждение теоремы сохраняет свою силу, так как из строгого неравенства в пределе получается, вообще говоря, нестрогое). 9. Если в некоторой окрестности точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и(х) и v(x), имеющими одинаковый предел b при х → а, то функция f(x) имеет тот же предел b: Свойства пределов облегчают их вычисление. Пример 2. Найти предел функции при x®1. Решение. Воспользуемся свойствами пределов и найдем отдельно пределы числителя и знаменателя: =7∙1-4∙1+2=5, Применяя свойство 3, получим предел дроби: . Непосредственное применение свойств пределов сразу привело к получению ответа. На практике такие случаи встречаются крайне редко, а потому, прежде чем применять теоремы о пределах, приходится тождественно преобразовывать данную функцию. Пример 3. Найти предел функции при x®¥. При этом и числитель, и знаменатель также стремятся к бесконечности. Символически этот случай обозначают [¥/¥] и называют «неопределенностьютипа [¥/¥]». Очевидно, что непосредственно применить теорему о пределе частного здесь нельзя. Для раскрытия неопределенности преобразуем предварительно данную дробь, разделив и числитель, и знаменатель на х3 (старшую степень знаменателя): Величины – бесконечно малые при x®¥, и их пределы равны нулю. Итак, предел функции у равен нулю, следовательно, при x®¥ у – бесконечно малая функция. Пример 4. Найти . Решение. Вновь получили неопределенность типа [¥/¥]. Применим только что использованный прием, и числитель, и знаменатель поделим на х5 (старшую степень числителя): . Предел числителя в полученной дроби равен 4, а предел знаменателя равен нулю, знаменатель при x®¥ - бесконечно малая величина. Вся дробь является величиной, обратной бесконечно малой, т.е. бесконечно большой, и ее предел равен бесконечности. Пример 5. Найти . Решение:
|