Предел числовой последовательности

Пределы и непрерывность

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

.

Числа называются членами последовательности, а

число a_n – общим членом данной последовательности.

Примеры:

2,4,6,8,…,2n,…– монотонная, неограниченная последовательность.

1,0,1,0,… - немонотонная, ограниченная последовательность.

– немонотонная, ограниченная последовательность. Рассмотрим эту последовательность подробнее. Изобразим ее члены точками числовой оси.

Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше:

, , , ,…, ,…,

то есть с ростом n величина будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N (зависящий от e (эпсилон)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство

.

Записывают это следующим образом: .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в том, что точки a_n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала
(A–e, A+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.