Предел функции в точке

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки x₀, кроме быть может, самой точки x₀.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x®x₀, если, для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется такое положительное число d>0 (зависящее от e), что для всех x, не равных x₀ и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство êf(x)-A ê < e.

Этот предел обозначается

.

Если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу x₀, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

или _.

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы

и , то

,

,

.

Замечание. Выражения вида

0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥–¥

являются неопределенными, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. , где , т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности

;

, где , ;

, где .