Примеры нахождения пределов

1. Найти предел последовательности .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n², а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

.

2. Найти предел последовательности .

Решение.

.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

3. Найти .

Решение.

.

5. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0:

.

Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию:

.

6. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями.

Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x² и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

.

7. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: ,
x–9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

8. Найти .

Решение. .

9. Найти .

Решение. Имеем: . Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу первого замечательного предела, получим .