Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Решение матричных игр в чистых стратегиях.




Читайте также:
  1. I. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь
  2. II Решение телеграфных уравнений для линий с потерями.
  3. Аналитическое решение
  4. Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
  5. В какие сроки решение КТС подлежит исполнению?
  6. Видео. Параметры видеофайлов - частота кадров, разрешение, цветовая модель и глубина цвета, соотношение сторон экрана. Потоки и их синхронизация. Компенсация движения.
  7. Виды лучистых потоков
  8. Виды лучистых потоков
  9. Влияние ионно-матричных эффектов на разрешение по глубине при измерении профилей концентрации
  10. Вопрос 1) Работа командира батареи (взвода) по подготовке и организации боевых действий. Решение командира батареи. Постановка задач подразделениям.

 

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий

j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i = 1,2,...,m,), игрок 2 – свою j-ю стратегию (j = 1,2,...,n. ), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит игроку 2 сумму | аij | ). На этом игра заканчивается.

Если рассмотреть матрицу

 


то матричная игра с матрицей А сводится к выбору игроком 1 любой из своих стратегий – (это строки матрицы А), а игроком 2 - любого столбца, и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша аij.

Матрица А называется платежной матрицей игры, элементы которой аij есть выигрыши игрока 1.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие вкладывается следующий смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого строки определяется минимальное значение выигрыша

,

затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

Число называется нижней ценойигры (максимином) и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается наибольшее значение аij в каждом столбце j и затем из этих значений определяется минимальное:

Число называется верхней ценой игры (минимаксом) и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.



Другими словами, применяя свои стратегии, игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 не больше, чем .

Если , то говорят, что матричная игра имеет седловуюточку в чистых стратегиях и чистую цену игры

Седловая точка – это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство .

Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется оптимальнымрешением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиямисоответственно игроков 1 и 2.

Пример 5 Найти цену игры, заданной платежной матрицей

Решение:

Очевидно, что нижняя цена игры , верхняя цена игры

.

Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1),то есть оптимальными стратегиями для игрока 1 является i = 3 – третья строка матрицы А, для игрока 2 - первый столбец, j = 1. Цена игры равна =2

Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 , но она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 13; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты