O. Точные определения.

Многочлены

О. Эвристические соображения.

В школьном курсе многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из R называется выражение вида

Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения из R.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида с конечным числом отличных от нуля слагаемых: Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:

;

,

где .

o. Точные определения.

Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из множества комплексных чисел С называется бесконечная последовательность , в которой лишь конечное число элементов не равно нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из С обозначается . Аналогично вводится множество многочленов с коэффициентами из . Далее утверждения формулируются для многочленов из , и, если не оговорено специально, они справедливы для многочленов из .

Введем операции сложения и умножения многочленов. Пусть . Тогда

, , где .

Очевидно, что и имеют лишь конечное число ненулевых элементов, то есть являются многочленами. При этом, если имеет , а ненулевых элементов, то – не более чем , а – не более чем ненулевых элементов.

Теорема 1. Операции сложения и умножения многочленов удовлетворяют следующим свойствам:

1) ассоциативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства ;

2) коммутативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства ;

3) дистрибутивность умножения относительно сложения, т.е. выполняется ;

4) для многочлена вида и выполняется ;

5) для многочлена вида и выполняется .

Доказательство. Проверим ассоциативность умножения. Пусть

.

Необходимо доказать, что . Имеем:

, где .

Тогда

,

где

,

и

, где ,

то есть ассоциативность умножения выполняется в силу ассоциативности умножения в .

Проверим дистрибутивность, то есть выполнение равенства

.

Имеем где ;

где .

Проверим коммутативность умножения. Имеем

, где и

, где

в силу коммутативности умножения в С.

Аналогично проверяются остальные свойства. ■

Рассмотрим . Очевидно, что

.

Следовательно, множество С' можно отождествить с С (то есть построить взаимно однозначное соответствие между этими множествами, так что ставится в соответствие .)

Обозначим (так как ).

Утверждение 1.Пусть . Тогда .

Доказательство. Так как , то легко видеть, что . Тогда

, и, значит

■

Терминология. Пусть . Тогда называется свободным членом многочлена. Если , то называется степенью многочлена. Пишут (degree), – старший коэффициент , , – переменная.

Следствие. выполняется .

При этом , .

Доказательство. Пусть и . Тогда и .

Если или .■

Замечание. определено только для многочленов нулевой степени близко по свойствам к множеству целых чисел алгоритм деления с остатком.