Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

и .

(1)

Доказательство. Пусть . Если , то можно положить . Если , то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел. Пусть

и .

Положим . Тогда . Пусть и . Если , то остановим процесс вычисления; если , то положим . Пусть , – старший коэффициент , и так далее… Так как степени многочленов убывают, то получим : и . Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

.

Тогда , , то есть получено требуемое представление (1).

Докажем единственность. Пусть и . Тогда . Если , то (по лемме 1) , a противоречие .■

Определение 2.Если и , то называется остатком при делении на .

Пример. . Здесь .

Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если и – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов а значит и коэффициенты и – действительные. Для целых коэффициентов это утверждение неверно.