Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда .

Доказательство.Разделим на : , где const. Тогда

. ■

Замечание. Остаток от деления на равен .

Следствие. Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени.

Доказательствопо индукции по степени многочлена. Если , то const корней нет утверждение верно.

Пусть утверждение доказано для и пусть . Если у нет корней утверждение верно. Если − корень и . По предположению индукции число корней не больше . Корни − это корни и наоборот (число корней )=(число корней )+1 .■

Замечание. Таким образом, задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей (то есть делителей степени 1).

Многочлен можно разделить на с остатком используя так называемую схему Горнера. Пусть имеет вид:

,

и пусть , где .

Приравнивая левую и правую часть, получаем:

, откуда при одинаковых степенях имеем:

Отсюда

Для практического использования схемы Горнера строят следующую таблицу:

Напомним, что .

Пример. Пусть . Найти . Воспользуемся схемой Горнера, которая в данном случае представляется в виде следующей таблицы:

			-4		-8
			-4+4=0		-8+12=4

Пусть – корень многочлена то есть и значит, по теореме Безу, Может оказаться, что и

Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена . Такой корень называется -кратным корнем Если , то корень называется простым.

Замечание 1. Если – корень кратности для многочлена , то и то есть . Наоборот, если и то – корень кратности многочлена Для доказательства этого предположим, что противоречие.

Замечание 2. считается корнем нулевого многочлена.

Теорема 7.Если является -кратным корнем многочлена , то при >1 число будет ( -1)-кратным корнем производной Если =1, то не является корнем

Доказательство.Пусть − -кратный корень многочлена Тогда , где , то есть Дифференцируя это представление по , имеем: , то есть . Так как

не делит Так как частное от деления определяется однозначно, то является наибольшей степенью , которая делит ■

Следствие.Если – -кратный корень , то – -кратный корень для .

7º. Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Теорема 8 (основная теорема алгебры (ОТА)). Всякий многочлен , имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство.Первые попытки доказательства этой теоремы были предприняты в XVII в. – Роте, Жираром, Декартом, далее в XVIII в. – Д’Аламбером, Эйлером, Лапласом, Лагранжем. Первое строгое доказательство было дано в 1799 г. К.Гауссом. Доказательство приведено, например, в учебнике Куроша [8].

Следствие 1. числа справедливо разложение

(4)

где − старший коэффициент − корни многочлена .

Доказательство. Пусть По теореме 8 корень многочлена . Тогда по теореме Безу справедливо представление где имеет степень и по ОТА имеет корень . В итоге получаем (4), где появление коэффициента обуславливается тем, что если вместо записать , то после раскрытия скобок получим слагаемое .■

Следствие 2. Разложение (4) для многочлена является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Пусть существует и другое разложение

.

Тогда имеем равенство:

… = … .

Если бы корень был отличен от всех корней , то после подстановки слева получаем 0, а справа – нет корню соответствует некий корень и наоборот.

Отсюда еще не следует совпадение всех корней двух разложений. Может случиться, что среди корней , есть одинаковые. Пусть − корень кратности , а соответствующий корень − корень кратности . Нужно показать, что .

Пусть . Тогда сокращая на приходим к равенству, где слева есть множитель , а справа – нет. Как показано выше, это приводит к противоречию. ■

Объединяя одинаковые множители, разложение (4) перепишем в виде:

где − попарно различные корни.

Докажем, что число , , является кратностью корня . Действительно, если кратность равна , то . Пусть . Тогда в силу определения кратности . Заменяя здесь его разложением на линейные множители, получим разложение, отличное от (4) получим противоречие с единственностью разложения

Следствие 3. Каждый многочлен имеет корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 4. Число различных корней непостоянного многочлена не превосходит его степени.

Следствие 5. Если два многочлена принимают одинаковые значения при различных аргументах, то .

Доказательство.Пусть Рассмотрим многочлен . Имеем: имеет различных корней ||в силу следствия 4|| ■

Следствие 6. Для любых попарно различных и любых существует единственный многочлен

Доказательство. Если указанный многочлен существует, то, в силу следствия 5, он единственный. Такой многочлен имеет вид:

,

( )

где

( )

Из формулы (5) видно, что и так как

, то ■

Определение 8.Построенный многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Следствие 7 (формулы Виетта). Пусть и − корни , причем каждый корень выписан столько раз, какова его кратность

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

Эти формулы называют формулами Виетта.

При , .

Если , ; ,

8º. Многочлены с действительными коэффициентами.

Пусть но . Такой многочлен называется многочленом с действительными коэффициентами.

Лемма 5. Если − корень многочлена с действительными коэффициентами, то − также корень .

Доказательство. Так как − корень многочлена применяя комплексное сопряжение, получаем

■

Из леммы 5 если то из Если то − многочлен с действительными коэффициентами, так как

Лемма 6. Если − корень кратности многочлена с действительными коэффициентами, то − тоже −кратный корень .

Доказательство. Пусть − −кратный корень и пусть . Тогда , где Отсюда имеем где

Многочлен − многочлен с действительными коэффициентами как частное двух многочленов с действительными коэффициентами и определяется однозначно. Таким образом, что противоречит лемме 5 не может быть больше . Аналогично, не может быть меньше ■

Лемма 7. Любой многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Определение 9. Многочлен , называется неприводимым над С, если его нельзя представить в виде произведения многочленов из , степени которых меньше . Аналогично вводятся неприводимые многочлены над множеством действительных чисел .

Примеры. 1) Неприводимыми над являются лишь многочлены вида , .

2) Неприводимые многочлены над имеют вид , , , и .

Теорема 9.Для всякого имеет место разложение на неприводимые множители вида

(6)

где , Это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочлен над с теми же коэффициентами. Согласно леммам 5 и 6 его корни можно расположить в последовательности: где Согласно следствию 1 к ОТА, имеем:

.

Полагая имеем для получим (6).

Для доказательства единственности заметим, что правая часть (6) равна для . Но набор неприводимых множителей определяется корнями разложение единственно. ■