Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



O. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.




Читайте также:
  1. а — общий вид, б — продольный разрез
  2. Билет 2. Понятие решения ОДУ первого порядка. ОДУ в симметричной форме. Общий интеграл.
  3. Вводный и общий лекционный материал по фундаментальным наукам. Они
  4. Виды служебных бланков для управленческих документов: общий бланк, бланк для писем, бланк конкретного вида документа.
  5. Вопрос 2. Принципы определения цены товаров (работ, услуг) для целей налогообложения. Общий порядок расчета выручки. Контроль налоговых органов за ценами сделок.
  6. ВОПРОС№2:Первобытное общество - общий этап в истории человечества. Заселение территории Белоруссии. Основные занятия первобытных людей, их общ строй.
  7. Всеобщий менеджмент качества (TQM) как современный механизм улучшения деятельности фирмы.
  8. Всеобщий феномен
  9. Вторым необходимым элементом сложного юридического состава, определяющего право на трудовую пенсию по старости, является общий трудовой стаж, в настоящее время страховой стаж.

Определение 3. Пусть . Если , то говорят, что делится на или делит , и пишут . Если , то означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

Доказательство следует из равенства .

2) , .

Доказательство. Так как ; так как

. Тогда имеем

.

3) , .

4) выполняется .

Доказательство. . Тогда

; следовательно, .

5) Если , , то справедливо

.

6)

Доказательство следует из равенства .

7) имеем .

8) .

Действительно, .

9) .

Доказательство.

и . Ho .

и .

10) .

Доказательство.

Если имеем .

Если и по свойству 1 имеем (в силу свойства 9) .

Следует из свойства 9.

11) Если , то имеем .

Определение 4. Многочлен называется общим делителем и , если и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов и называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.

Лемма 1. Если НОД двух многочленов и существует, то он определен с точностью до множителя .

Доказательство. Пусть и – два НОД для и и (по свойству 10) , для и . Пусть . Если – общий делитель для и , то – тоже общий делитель. Если – НОД, то есть любой другой делитель делит , то − тоже НОД.■

Лемма 2. Если , , то пары многочленов и имеют одинаковые общие делители.

Доказательство. Пусть – общий делитель и из и по свойству 5 . Аналогично, из делимости и на и делятся на .■

Лемма 3. Если , то .

Доказательство следует из того, что – делитель и и любой делитель и делит .

Теорема 3. Для , НОД( ) .

Доказательство. Рассмотрим . Если , то в силу леммы 3 и условия имеем = НОД( ). Если , то поделим на с остатком . Если , то теорема доказана в силу леммы 3.

Пусть . Тогда делим на . Если остаток , то доказательство завершаем, если , то делим на и так далее. Так как степени остатков все время уменьшаются, то процесс конечен. Таким образом, имеем следующую последовательность равенств:



,  
,  
,  
(E)
,  
,  
.  

 

Здесь .

Из равенств ( ) и леммы 2 что пары многочленов имеют общие делители делители и совпадают с делителями многочлена (по лемме 3) – делитель и .

Если – любой другой делитель и он делитель и – НОД.■

Замечание 1. Алгоритм построения НОД, использованный в теореме 3, называется алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления.

Замечание 2. Если .

Замечание 3. Так как НОД определен с точностью до множителя, то будем считать, что коэффициент при старшей степени равен 1.

Пример. Пусть . Используем формулы (E) для построения НОД Тогда , где Далее удобно рассматривать Тогда где Отсюда получаем: , то есть НОД

Замечание 4. При вычислении НОД результаты деления многочленов можно умножать и делить на элементы из С, что влияет лишь на множители.

Теорема 4 (теорема о разложении НОД). Пусть и , . Тогда

(2)

При этом, если , то и можно подобрать так, что и .

Доказательство. Если , то по лемме 3 g(x)= и поэтому .



Аналогично, если .

Пусть теперь и не является делителем . Тогда можно считать, что . Из предпоследнего равенства из (Е) следует, что

. Положим .

Из равенства подставляя в последнее выражение для d(x)

Поднимаясь дальше вверх, приходим к (2).

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть (2) получено, но . Покажем, что (2) можно привести к виду , где . Разделим на с остатком: , где .. Подставляя это в (2), имеем:

.

Положим . Тогда . Покажем, что . От противного, то есть пусть . Тогда имеем: .Так как из следует , то , что противоречит определению НОД.■

Пример. Если , , то НОД( )=

. Следовательно, .

Замечание. Аналогично вводится понятие НОД для случая многих многочленов.

5˚. Взаимно простые многочлены.


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 23; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.013 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты