Мал. 1-7. Геометрична ілюстрація тотожності

= .

На мал. 1-7 приведені діаграми Эйлера-Венна для алгебраїчних виражень і . Обидва ці вирази дають ту саму множину, так що має місце тотожність

=

3. Легко переконатися, що якщо YÍХ, то

Дійсно, всі елементи множини Y є в той же час і елементами множини X. Значить перетинання цих множин, тобто загальна частина множин Х и Y збігається з Y. В об’єднання множин Х і Y множинa Y не внесе жодного елемента, що вже не входив би в нього, будучи елементом множини X. Отже, збігається з Х.

4. Вважаючи Y=X і з огляду на те, що ХÍХ, знаходимо

Доказ тотожностей алгебри множин за допомогою діаграми Ейлера-Венна в ряді випадків виявляється незручним. Є більш загальний спосіб установлення тотожності двох алгебраїчних виражень.

Нехай, як і колись, через і позначені два алгебраїчних вирази, що утворилися шляхом застосування операції об’єднання, перехрещення і доповнення до множин X, Y і Z. Для того щоб довести, що досить показати, що і що . У свою чергу, щоб показати, що , потрібно переконатися, що з випливає . Аналогічно, щоб показати, що , потрібно переконатися, що з випливає . Скористаємося цим методом, щоб довести ще декілька тотожностей.

5. Доведемо тотожність

Припустимо, що , тобто що Це значить, що і , тобто і . Отже, . Припустимо тепер, що , тобто , і . Це значить, що і , тобто що Отже, .

6. Тотожність

доведемо, привівши обидві його частини до однакового виду. Виконуючи операцію доповнення над обома частинами, одержимо Ліва частина цього вираження дає Х Ç У. Те ж саме одержимо, перетворюючи праву частину за правилом В літературі тотожності звичайно називаються тотожностями де-Моргана.

1.1.12. УПОРЯДКОВАНА МНОЖИНА

Поряд із поняттям множини як сукупності елементів важливим поняттям є поняття упорядкованої множини або кортежу. Кортежем називається послідовність елементів, тобто сукупність елементів, у котрої кожний елемент займає визначене місце. Самі елементи при цьому називаються компонентами кортежу (перша компонента, друга компонента і т.д.). Приклади кортежів: множина людей, що стоять у черзі; множина слів у фразі; числа, що виражають довготу і широту точки на місцевості, і т.п. В усіх цих множинах місце кожного елемента є цілком визначеним і не може бути довільно змінено.

Число елементів кортежу називається його довжиною. Для позначення кортежу використовуємо круглі дужки. Так, множина

є кортежем довжини n з елементами . Кортежі довжини 2 називаються парами або упорядкованими парами, кортежі довжини 3 - трійками, 4 - четвірками і т.д. У загальному випадку кортежі довжини n називаються n-ками. Окремим випадком кортежу є кортеж (а) довжини 1 і порожній кортеж довжини 0, що позначається ( ) або L.

Мал. 1-8. Проекції двох та триелементного кортежу.

На відміну від звичайної множини, в кортежі можуть бути й однакові елементи: два однакових слова у фразі, однакові чисельні значення довготи і широти точки на місцевості і т.п.

Надалі будемо розглядати упорядковані множини, елементами яких є дійсні числа. Такі упорядковані множини називають точками простору або векторами. Так, кортеж може розглядатися як точка на площині або вектор, проведений із початку координат у дану точку (мал. 1-8 а)). Компоненти будуть проекціями вектора на осі 1 і 2

.

Кортеж може розглядатися як точка в тривимірному просторі, або як тривимірний вектор, проведений із початку координат у цю точку (мал. 1-8 б)). Проекції вектора на осі координат

Однак у даному випадку можна говорити про проекцію кортежу відразу на дві осі, наприклад 1 і 2, тобто на координатну площину. Неважко бачити, що ця проекція являє собою двоелементний кортеж

Узагальнюючи ці поняття, будемо розглядати упорядковане n-елементну множину чисел , як точку в уявлюваному n-мірному просторі, що називається іноді гіперпростором, або як n-мірний вектор. При цьому компоненти n-елементного кортежу а будемо розглядати як проекції цього кортежу на відповідні осі

Якщо i, j,...,l номери осей, причому 1£ i < j <…<l £ n, то проекція кортежу а на осі i, j,...,l дорівнює:

Проекцією кортежу на порожню множину осей є порожній кортеж

Пр_Æa=L.