ТОТОЖНОСТІ АЛГЕБРИ МНОЖИН

За допомогою операцій об’єднання, перехрещення і доповнення з множин можна складати різні алгебраїчні вирази. Позначимо через деякий алгебраїчний вираз, складений з множин X, Y і Z. Він саме являє собою деяку множину. Нехай — інший алгебраїчний вираз, складений з тих же множин. Якщо обидва алгебраїчні вирази являють собою ту саму множину, то їх можна порівняти один з одним, одержуючи алгебраїчну тотожність виду

= .

Такі множини бувають дуже корисні при перетворенні алгебраїчних виразів над множинами, і деякі з них ми розглянемо нижче.

1. На мал. 1-6 приведені діаграми Эйлера — Венна для виразів і .

Мал 1-6.

Геометрична ілюстрація тотожності

=

З цих діаграм видно, що обидва вираження визначають ту саму множину, так що в алгебрі множин має місце тотожність

= ,

аналогічна дистрибутивному закону (а+b)с=ас+bс у звичайній алгебрі.

2. У звичайній алгебрі ми не можемо замінити в дистрибутивному законі дію додавання множенням, а дію множення додаванням, тому що це приводить до абсурдного виразу (аb)+с= (а+с) (b+с). Інакше стоїть справа в алгебрі множин.