ОПЕРАЦІЇ НАД МНОЖИНАМИ. ПОПЕРЕДНІ ЗАУВАЖЕННЯ

Над множинами можливо здійснювати дії, які багато чим нагадують складення або множення в елементарній алгебрі.

Нехай a та b – деякі числа, a + b їх сума, а a*b – їх добуток. Сума та добуток чисел мають наступні властивості, що називаються законами алгебри:

1. - комутативний закон, або закон переміщення;

2. - асоціативний або сполучувальний закон;

3. - дистрибутивний або розподільчий закон.

Зауважимо, що в асоціативному та комутативному законах можна замінити складення перемноженням, а перемноження складанням. Але в дистрибутивному законі подібної симетрії немає. Якщо в цьому законі замінити складення множенням, а множення складанням, то прийдемо до абсурду: Ставимо запитання. Чи завжди це так? Чи не існує алгебри, в якій дистрибутивний закон був би також симетричним відносно складення і множення, як комутативний та асоціативний закони?

Виявляється, що існує алгебра, а точніше алгебра множин, у якій всі три закони симетричні відносно дій складення і множення.

Збіжність між діями складання і множення проявляється також в існуванні двох чудових чисел 0 та 1, що додавання першого та множення на друге не змінюють жодного числа:

Зауважимо, що друге співвідношення отримується із першого заміною (+) на (*) та 0+1.

Але і тут збіжність між діями складання та множення не є особливо далеко. Так, число 0 грає дещо особливу роль відносно усіх інших чисел у тому числі й одиниці. Ця особлива роль числа 0 витікає із співвідношення Якщо ми в цьому виразі замінимо (*) на (+) та 0 на 1, то приходимо до співвідношення , яке не буде правильним. Як ми побачимо далі, збіжність між нулем і одиницею в алгебрі множин буде значно більшою, ніж у звичайній алгебрі.

1.1.5. ОБ’ЄДНАННЯ МНОЖИН

Об’єднанням множин Х та Y називається множина , яка складається із усіх тих і тільки тих елементів, що належать хоч би одній із множин Х,Y, тобто належить Х або Y. Об’єднання множин Х та Y визначається через . Формальне визначення:

Об’єднання множин іноді називають сумою множин і позначають Х+Y. Але властивості об’єднання множин де в чому відрізняються від властивостей суми в звичайному арифметичному розумінні. Тому цим терміном ми користуватись не будемо.

Приклад 1-1.

Якщо і то .

Приклад 1-2.

Якщо Х – множина відмінників у групі, а Y- множина студентів, що живуть у гуртожитку, то - множина студентів, які або вчаться на відмінно, або проживають у гуртожитку.

Приклад 1-3.

Розглянемо два круги, що приведені на малюнку 1. Якщо Х – множина точок лівого кругу, а - множина точок правого кругу, то являє собою заштриховану область, обмежену обома кругами.

Поняття об’єднання можна поширити і на більше число множин. Через Œ позначимо сукупність n множин X₁,...,Xn, називану іноді системою множин. Об’єднання цих множин

,

являє собою множину, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, що належать хоча б одному з множин системи Œ.
Для об’єднання множин справедливі комутативні й асоціативний закони

справедливість яких випливає з того, що ліва і права частини рівностей утворюються із одних і тих же елементів. Далі

ХÈÆ=Х.

Це також очевидне співвідношення, тому що порожня множина не містить елементів, а значить Х і ХÈÆ складаються із тих самих елементів. З того, що ХÈÆ=Х видно, що порожня множина Æ відіграє роль нуля в алгебрі множин. Тут має місце аналогія з виразом а+0 = а в звичайній алгебрі.