КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Множества и операции над ними. Множества и операции над нимиСтр 1 из 27Следующая ⇒ ГЛАВА I . ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Числовые множества Множества и операции над ними Под множеством понимаем совокупность, систему, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество натуральных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество точек пространства, множество решений квадратного уравнения, и т. д. Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: . Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита: . Например, – элемент принадлежит множеству ; –элемент не принадлежит множеству . Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое множество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, которые мы будем рассматривать, одновременно являются элементами этого широкого фиксированного множества, называемого универсальным множеством (для этого множества будем применять обозначение ). Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: . Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины сторон которых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2; множество решений системы уравнений , Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества: . Пример – множество состоит из трех чисел 1, 8, 6 ; – множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству . Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Обозначается подмножество так: ( включено в ) или (множество включает в себя множество ). Знаки и также называют знаками включения. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и , то , следовательно, говорят, что множества и равны или совпадают. Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмножества любому множеству; очевидно, также . и называют несобственными подмножествами множества , все остальные подмножества множества называют собственными. Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают или . Понятие объединения обобщается на случай бесконечного числа множеств. Если даны множества , то символическая запись означает объединение данных множеств, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Пример Объединение множества положительных четных чисел и множества положительных нечетных чисел есть множество натуральных чисел. Пример . Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству и множеству . Записывают или . Для бесконечного набора множеств символ обозначает их пересечение, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам. Пример . Разностьюмножеств и называется совокупность тех элементов , которые не содержатся в . Записывают . Разность , где – универсальное множество, называется дополнением множества и обозначается символом . Типовой пример Выполнить указанные операции над множествами , , - подмножествами множества натуральных чисел. ►Разность множеств это множество, состоящее из элементов множества , не принадлежащих множеству , то есть . Множество это множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и , то есть = . Множество состоит из элементов множества , не принадлежащих , то есть . Множество состоит из элементов, принадлежащих и множеству = , и множеству , то есть = .◄
2. Декартово произведение. Соответствия Пусть и – произвольные множества. Пару элементов , , взятых в указанном порядке, будем называть упорядоченной парой, считая при этом, что тогда и только тогда, когда . Декартовым произведением двух множеств и называется множество всех упорядоченных пар : . Пусть, например, – множество всех вещественных чисел. Тогда декартов квадрат есть просто множество всех декартовых координат точек плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декартово произведение трех множеств, четырех и т.д. При пишут сокращенно вместо и говорят об -й декартовой степени множества . Элементами являются упорядоченные наборы . Так, например, множество называется n-мерным арифметическим пространством; в частности, 1-мерное арифметическое пространствоR называется числовой прямой, 2-мерное пространство R2 — числовой плоскостью, 3-мерное пространствоR3 — числовым пространством. Пример , , . Если в декартовом произведении используются множества бесконечные, то нельзя задать в виде конечного множества пар элементов, как в предыдущем примере. Тогда декартово произведение удобнее изобразить с помощью чертежа, где элементы из множества откладываются на горизонтальной прямой, а элементы из множества на вертикальной прямой, пересекающей первую под прямым углом в точке 0. Пример
Если в декартовом произведении множеств и выбрано некоторое подмножество упорядоченных пар , то говорят, что задано соответствие . Обозначается: . Множество называется графиком соответствия . Если множество отложить на горизонтальной оси, - на вертикальной, то множество пар , удовлетворяющих соответствию , является геометрической иллюстрацией графика соответствия. Пример Пусть , : , тогда =
Если пары соответствия обозначить точками и стрелкой от элемента из множества кэлементы из множества соединить те и только те пары, для которых выполняется , то говорят, что построен граф соответствия . Областью отправления в соответствии называется множество , множество - это область прибытия соответствия. Соответствие между множествами и такое, что истинно тогда и только тогда, когда истинно , называется обратным. Соответствие , график которого является дополнением к графику соответствия до декартова произведения , называется соответствием, противоположным данному соответствию . Пример Для множеств и установлено соответствие : . 1) Графиком соответствия является множество .
3) Обратное соответствие для : , если . Если , то график обратного соответствия . 4) Если - график данного соответствия , = то график соответствия , противоположного соответствию : = .
|