Теоретические сведения. При статистическом моделировании необходимо: составить содержательное описание процесса; построить формализованную схему процесса; составить моделирующий

При статистическом моделировании необходимо: составить содержательное описание процесса; построить формализованную схему процесса; составить моделирующий алгоритм; выбрать методики получения числовых результатов и использовать их для анализа и синтеза технологической системы.

Содержательное описание концентрирует сведения о физической природе и количественных характеристиках элементов исследуемого процесса, о степени и характере их взаимодействия, о месте и значении каждого элемента в общем процессе функционирования технологической системы. Помимо сведений, непосредственно характеризующих процесс, в содержательное описание включаются: постановка задачи в виде четкого изложения идеи предполагаемого исследования, перечень зависимостей, подлежащих оценке по результатам моделирования; числовые значения известных характеристик и параметров процесса в виде таблиц и графиков; начальные условия.

Когда трудно осуществить переход от содержательного описания к математической модели,разрабатывается формализованная схема сложных процессов. Для ее построения необходимо выбрать показатели процесса, установить систему параметров, характеризующих процесс, строго определить все зависимости между показателями и параметрами процесса с учетом тех факторов, которые принимаются во внимание при формализации. На этом этапе дается точная математическая формулировка задачи исследования. К формализованной схеме прилагается систематизированная совокупность всех исходных данных, известных параметров и начальных условий.

Формализация широкого круга производственных процессов происходит с учетом следующих основных групп факторов: случайных возмущений, случаев появления брака, режима занятости элементов производственного оборудования, надежности оборудования, а также различных состояний, требующих прекращения работы (наладка станков, замена инструмента и т. д.), которые относятся к случайным объектам.

Современным производственным процессам свойственна частичная или полная синхронизация, которая может нарушаться под действием дестабилизирующих факторов. Вследствие этого образуются очереди изделий или происходит простой станков. Они не остаются неизменными, а интенсивно флуктуируют, создавая динамичный режим занятости элементов производственного оборудования. Для математического описания режима занятости оборудования применяются методы теории массового обслуживания. События, связанные с ненадежностью оборудования, рассматриваются как случайные события. Аналогичные математические схемы применяются для случаев выхода оборудования из рабочего состояния (износ инструмента, разладка станков и т. д.).

Для моделирования процесса, заданного с помощью математической модели, необходимо построить моделирующий алгоритм в таком виде, который бы наглядно отражал особенности структуры процесса. Поэтому моделирующий алгоритм представляют в виде операторной схемы, содержащей последовательность операторов, каждый из которых изображает достаточно большую группу элементарных операций.

Вся совокупность операторов, составляющих моделирующий алгоритм, делится на три группы: основные, вспомогательные, служебные. К основным относятся операторы, используемые для имитации отдельных элементов исследуемого процесса и взаимодействия, т.е. описывают процессы функционирования реальных элементов системы с учетом воздействий внешней среды. В отличие от них вспомогательные операторы не имитируют элементарные акты процесса, а производят вычисления тех параметров и показателей, которые необходимы для работы основных операторов. Служебные операторы обеспечивают взаимодействие основных и вспомогательных операторов при моделировании процесса в автоматическом режиме и синхронизацию работы алгоритма, производя фиксацию величин, являющихся результатами моделирования, а также их обработку.

Для изображения операторных схем алгоритмов удобно пользоваться операторами двух принципиально различных классов – арифметическими и логическими. Арифметические операторыобозначаются А₃₁, т.е. оператор №31. Передача управления данному оператору обозначается номером того оператора, от которого передается управление, записываемым вверху слева от символа данного оператора. Запись ^10,16А₁₈ означает, что оператор А₁₈ получает управление от операторов №10 и 16. Принципиальным свойством любого арифметического оператора является то, что после выполнения соответствующих операций независимо от результатов расчета производится переход к какому-нибудь одному определенному оператору.

Логические операторы предназначены для проверки справедливости заданных условий и выработки признаков, обозначающих результат проверки. Управление в логическом операторе передается одному из двух операторов алгоритма, в зависимости от значения признака, вырабатываемого логическим оператором. Он обозначается , что означает, что логический оператор № 22 передает управление оператору №35, если условие, проверяемое Р₂₂, выполнено, или же оператору №12, если оно не выполнено.

При моделировании сложных систем используют следующие операторы:

1 Вычислительные операторы, которые являются арифметическими операторами и обозначаются А_i.

2 Операторы формирования реализаций случайных процессов Ф_i для имитации действия различных случайных факторов, сопровождающих исследуемый процесс. Исходным материалом для формирования в ЭВМ реализаций, несущих в себе элемент случайности, обычно служат случайные числа. Их можно получать различными способами: введением специальных таблиц случайных чисел и выбором из них отдельных чисел по мере надобности; выработкой случайных чисел в самой машине по особым программам. Операторы Ф_i решают задачу преобразования случайных чисел стандартного вида в реализации случайных процессов с заданными свойствами.

3 Операторы формирования неслучайных величин F_i, которые полностью повторяют либо в каком-то смысле имитируют работу вычислительных и управляющих средств реального оборудования.

4 Счетчики, обозначаемые K_i и подсчитывающие количество различных объектов, обладающих заданными свойствами, например, количество деталей, прошедших обработку, количество свободных или занятых станков, количество доброкачественных или бракованных изделий и др. Результаты, выдаваемые счетчиком, являются исходными данными для логических служебных операторов, обеспечивающих синхронизацию моделирующего алгоритма.

Для разнообразных ТП трудно представить единый набор конкретных правил и готовых математических схем для формализации. Поэтому удобно расчленить процесс на элементарные акты, которые имеют достаточно простые математические схемы, и построить математическое описание их взаимодействия для создания единого процесса. Такими элементарными актами являются операции. Но в статистическом моделировании используют не реальные операции, а абстрактные, как преобразователи, определяющие изменение значений параметров изделий. Типичными абстрактными операциями являются операции обработки, сборки и управления.

Под абстрактной операцией обработки понимают такой элементарный акт производственного процесса, в результате которого меняется значение хотя бы одного из параметров полуфабриката. К таким операциям относят обработку резанием, штамповку, т.е. операции, связанные с изменением размеров и положения в пространстве (повороты, транспортирование), сообщение дополнительного признака (окрашен, проверен) и т. Д. Независимо от реальной структуры и назначения любой комплекс производственного оборудования будем для краткости называть станком. Для построения математического описания операции обработки необходимо установить соотношения параметров, характеризующих взаимодействие станка и полуфабриката в процессе обработки.

Пусть момент начала операции обозначается t^н, а ее длительность – t^оп. Нам известны значения всех параметров a_Ik полуфабриката как непрерывных, так и дискретных для моментов времени t £ t^н, т. Е. до операции. Требуется определить значение a_Iik параметров полуфабриката для моментов времени t ³ t^к, где величина

(7.1)

является моментом окончания операции обработки. Поэтому первой частью математического описания операции обработки должно быть соотношение

(7.2)

для всех k = , где b_m – некоторые параметры, характеризующие станок.

В ряде случаев приходится считаться с тем обстоятельством, что a_Iik представляют собой случайные величины. Случайными могут оказаться параметры станка b_m, да и сама функция a_Iik флуктуирует случайно при выполнении операции. Поэтому пользуются соотношением

, (7.3)

где – случайные отклонения величины a_Iik от некоторого неслучайного значения , заданные соответствующими законами распределения.

Однако последнее не исчерпывает математического описания операции обработки. К нему необходимо добавить зависимости, определяющие режим функционирования станка во времени. Помимо t^н и t^к введем следующие величины: — момент поступления j-го экземпляра полуфабриката к станку; t^г – время, затрачиваемое на подготовку станка к выполнению следующей операции, а также момент готовности станка к выполнению операции:

. (7.4)

Существует класс процессов, не имеющих централизованного управления производственных циклов во времени. В этом случае операция может начаться в любой момент, если только выполнены необходимые для этого условия: станок готов к работе и к нему поступил очередной полуфабрикат. Если дополнительные простои исключить, то условие начала операции имеет вид:

(7.5)

Любые дополнительные простои могут быть обобщены и включены в t^г.

При обработке деталей на автоматических линиях режим работы станков жестко синхронизирован и операция обработки может начаться только в моменты времени, кратные t^т – длительности такта. Операция может начаться, если станок готов к работе и поступил очередной полуфабрикат:

(7.6)

Исходя из этого можно записать:

, (7.7)

где t₀ – начало отсчета времени; k^* = .

Под абстрактной операцией сборки понимают такой элементарный акт производственного процесса над совокупностью полуфабрикатов (один ведущий и несколько ведомых), в результате которого изменяется значение хотя бы одного из параметров ведущего полуфабриката (за счет присоединения к нему ведомых), а соответствующие ведомые полуфабрикаты прекращают свое существование.

Пусть в сборке участвуют ведущий полуфабрикат и n деталей. Параметры их до момента сборки t £ t^н обозначим для ведущего полуфабриката a_j, а для ведомых a_i1, a_i2,…, a_ik. В результате операции сборки получим новую единицу с новыми значениями параметров П_j. Тогда зависимость параметров изделия после сборки можно представить в виде:

. (7.8)

Рассмотрим некоторые параметры, характеризующие операцию сборки.

1 Момент начала операции t^н связан с моментом поступления на сборку ведущего полуфабриката и моментами поступления ведомых деталей уравнением

. (7.9)

Если сборка начинается по мере поступления деталей или по мере готовности оборудования, то этот случай сводится к предыдущему. При этом достаточно процесс расчленить на несколько последовательно выполняемых операций.

Если операция сборки синхронизирована с тактом выпуска продукции, то

, (7.10)

где t₀ — начало отсчета; t^т – длительность ритма сборки.

2 Длительность операции сборки t^оп можно представить в виде суммы длительностей последовательных этапов: установки детали на ведущем полуфабрикате t^у, крепления (пайки) деталей t^кр и регулировки сборочной единицы t^рег:

. (7.11)

3 Время t^г, затрачиваемое на подготовку сборочного агрегата к следующей операции, является случайной величиной с экспоненциальным законом распределения:

, (7.12)

где l_г = 1/Т ^г — среднее количество подготовок за единицу времени, ч^–1.

4 Длительность ритма сборки t^т – детерминированная неслучайная величина.

5 Момент времени готовности агрегата к выполнению следующей операции:

. (7.13)

6 Плотность распределения вероятности времени выхода из строя оборудования описывается функцией

, (7.14)

где l — среднее число отказов за единицу времени; t – время.

Можно также пользоваться средним временем безотказной работы Т_ср. Для экспоненциального распределения .

7 Вероятность брака из-за износа оборудования

, (7.15)

где – вероятность брака после наладки;

n, s – константы;

t^нл – момент последней наладки.

В результате операций управления выбирается информация, необходимая для согласования работы отдельных элементов производственного комплекса. Примерами операций управления является регулирование скорости производственного процесса, усилий, температуры, распределения полуфабрикатов между параллельно работающими станками, выработка признаков или возобновление подачи полуфабрикатов к станкам в зависимости от длины очереди, некоторые мероприятия, связанные с контролем производственного процесса и качества продукции. Эту информацию удобно представить в виде поправок Db_m к параметрам производственного оборудования. В общем случае соотношение для Db_m можно записать виде:

, (7.16)

где a_{I i}, a_{I I i} – параметры полуфабриката, связанные с i-м эталоном производственного процесса соответственно до начала и после его окончания.

Построение моделирующего алгоритма операции сборки начинается с описания формализованной схемы. Пусть операцией сборки предусматривается присоединение к ведущему полуфабрикату n деталей. Если в необходимый момент времени соответствующая деталь имеется, то операция сборки продолжается. Если деталь отсутствует, то операция сборки срывается. Деталь, взятая для присоединения к сборочной единице, подвергается проверке за время t^пр. Она может оказаться бракованной с вероятностью Р^бр и в этом случае заменяется другой деталью, если такая имеется. Операция сборки может продолжаться лишь ограниченное время. Если операция в норму времени не укладывается, то происходит срыв операции сборки. После окончания операции сборки и получения готового изделия или срыва операции происходит переход к сборке последующего изделия. Процесс продолжается до тех пор, пока ,

где – момент поступления на сборку очередного ведущего полуфабриката;

Т – период функционирования процесса.

Для моделирования данную операцию сборки (которую в дальнейшем будем называть составной операцией сборки) разобьем на совокупность операций с номерами 1,2,…,n. Каждая i-я операция, полученная при разбиении, заключается в присоединении к сборочной единице лишь одной детали. Длительность i-й операции для j-го узла обозначим , а момент ее окончания – . Если к моменту данная операция не закончена, то происходит срыв процесса и j-я сборочная единица исключается из рассмотрения.

Операторная схема моделирующего алгоритма для составной операции сборки имеет вид

.

Суть работы моделирующего алгоритма (рисунок 7.1) состоит в следующем. Оператор Ф₁ формирует момент поступления на сборку ведущего полуфабриката . Величина сравнивается с моментом окончания сборочных процессов Т (оператор Р₂). Если <Т, то моделирование продолжается. В противном случае считается, что время работы истекло, и управление передается оператору А₂₁ для обработки полученных результатов моделирования. Оператор Р₃ проверяет выполнение условия i > n. Пусть i > n. Это значит, что сборка данного изделия закончена. Тогда осуществляется переход к новой сборочной единице (оператор F₈) с последующим формированием выходного параметра П_j (оператор Ф₄), подсчетом количества готовых изделий (оператор К₅), определением номера следующего ведущего полуфабриката, т. Е. новой сборочной единицы (оператор К₆) и формированием начала сборки i = 1 (оператор F₇). Если же условие, проверяемое оператором Р₃, оказывается невыполнимым, то сборка изделия не закончилась, и переходим к оператору Ф₉ для формирования – времени подготовки оборудования к очередной сборочной операции. Оператор Р₁₀ проверяет, имеется ли k-я деталь, необходимая для i-й операции сборки (n_ki > 0). Если детали нет (не поступила с участка обработки), то происходит срыв сборки (как i-й сборочной операции, так и j-го изделия в целом) и управление передается оператору К₁₁ для подсчета количества срывов, а затем оператору F₁₉.

Оператор F₁₉ формирует значение i = n + 1 (т.е. имитирует конец сборки), оператор К₂₀ вычитает единицу из количества готовых изделий для компенсации действия оператора К₅, и управление передается оператору Р₃. Поскольку i > n то условно сборка закончена и работа алгоритма будет продолжаться по знакомой цепи Р₃Ф₄К₅К₆F₇F₈Ф₁.

Теперь будем считать, что детали для сборки имеются, т.е. n_ki > 0 (оператор Р₁₀). Оператор К₁₂ вычитает единицу из n_ki (деталь взята для проверки), а оператор Ф₁₃ формирует длительность проверки . Затем по жребию (оператор Р₁₄) определяется качество детали. Если деталь бракованная, то возвращаемся к оператору Р₁₀, с помощью которого выбирается новая деталь. Если деталь годная, то сборка продолжается: оператор Ф₁₅ формирует длительность сборки , а оператор А₁₆ определяет момент ее окончания . Если (оператор Р₁₇), то осуществляется переход к оператору К₁₈, который определяет номер следующей операции (i+1), а затем к Р₃. Если это условие не выполнено, то происходит срыв сборки (оператор К₁₁).

Часто приходится сравнивать не с , свойственным i-й операции, а с – моментом окончания составной операции сборки. В этом случае в качестве можно взять наибольшее и несколько изменить алгоритм. Вместо оператора Р₁₇ необходимо поставить оператор, обеспечивающий запоминание , и оператор сравнения max{ } c , а после оператора Р₃ ввести оператор, выбирающий max{ }.

Моделирование ТП сборки электронного модуля на печатной плате проводится в описанной ниже последовательности.

1 На основании ОСТ 4 ГО.054.264-267 операция сборки расчленяется на n операций с одинаковой по возможности длительностью. При расчете длительности учитываются все переходы, связанные с операцией (формовка выводов, установка ЭРЭ, пайка и т. д.).

2 Расчетное значение принимается за математическое ожидание длительности операции сборки . Оценивается масса и полученное значение принимается за математическое ожидание массы изделия М( ).

3 Экспериментально устанавливаются законы распределения случайных величин:

· плотность распределения интервалов между моментами поступления ведущего полуфабриката подчиняется треугольному закону:

(7.17)

где ; математическое ожидание и дисперсия для этого закона определяются по следующим формулам:

; (7.18)

· плотность распределения длительности проверки качества детали подчиняется экспоненциальному закону:

, (7.19)

где l_пр – среднее число проверок качества детали за единицу времени:

l_пр = ; – математическое ожидание времени проверки;

· плотность распределения длительности операции сборки подчиняется нормальному закону:

, (7.20)

где t₀ — математическое ожидание длительности сборки i-й операции ;

· плотность распределения одного из параметров изделия – массы П_j – подчиняется равновероятностному закону распределения:

(7.21)

математическое ожидание для этого закона .

4 Выбирают на основании опытных данных следующие величины:

· относительные допуски на интервалы поступления ведущего полуфабриката:

, (7.22)

где а₁, b₁ — границы изменения параметра;

· продолжительность подготовки к операции: ; выбранное значение принимается за математическое ожидание;

· интенсивность проверки качества деталей: ;

· относительное среднеквадратичное отклонение продолжительности сборки:

; (7.23)

· относительные допуски массы изделия:

, (7.24)

где а₂, b₂ – границы изменения параметра;

· вероятности бракованных деталей для транзисторов, диодов и интегральных схем – 0,5; 1,0; 2,5 %, а для резисторов и конденсаторов 0,1; 0,2; 0,3 %.

5 Рассчитывают ритм сборки:

. (7.25)

Данное значение ритма принимается за математическое ожидание продолжительности интервалов между поступлениями ведущего полуфабриката .

6 Рассчитывается:

· количество деталей каждого типа, необходимое для сборки за смену,

; (7.26)

· начало операции сборки сборочной единицы:

(7.27)

· конец i-й операции сборки

; (7.28)

· конец сборки сборочной единицы

; (7.29)

· предельное значение момента сборки i-й операции

; (7.30)

· предельное значение момента сборки j-й сборочной единицы

. (7.31)