Цилиндрическую стенку

Эту проблему можно рассмотреть на примере цилиндрической трубы, внешняя и внутренняя поверхности которой поддерживаются при постоянных температурах и .

Изотермические поверхности будут цилиндрическими поверхностя­ми, имеющими общую ось с трубой. Температура будет меняться только в направлении радиуса, благодаря этому и поток тепла будет тоже радиальным. Труба имеет бесконечную длину. Температурное поле в этом случае является одномерным

,

где r – текущая цилиндрическая координата.

В случае неравномерного распределения температур на поверх­ностях трубы температурное поле не будет одномерным и последнее уравнение не будет действительным.

На рис. 2.3 изображена труба, в которой тепловой поток направ­лен по радиальным направлениям. Возьмем участок трубы длиной l. Поверхность F на расстоянии r от оси будет равна . Темпера­тура внутренней поверхности равна , наружной – . Через поверхности проходит один и тот же тепловой поток.

Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr. Тогда можно принять поверхности, через которые проходит тепловой поток, одинаковыми и рассматривать этот элементарный слой как плоскую стенку. Разность температур между поверхностя­ми будет также бесконечно малой и рав­ной dt.

r dr

Рис. 2.3

В этом случае по закону Фурье, как для плоской стенки, тепловой поток

,

или для кольцевого слоя

.

Разделяя переменные и интегрируя полученное уравнение теплового потока для кольцевого слоя в пределах от до и от r до r и при = const, получаем зависимость

, (2.7)

откуда

, Вт. (2.8)

Как видно из уравнения (2.7), распределение температур в стенке цилиндрической трубы представляет собой логарифмическую кри­вую, а тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку (2.8), определяется заданными граничными условиями и зависит от отно­шения наружного диаметра к внутреннему.

Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы и к 1 м внутренней или внешней поверхности. Тогда расчетные фор­мулы, принимают вид

, Вт/м; (2.9)

, Вт/м ; (2.10)

, Вт/м . (2.11)