Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

,

где - независимая переменная, - искомая функция, - ее производная называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(11.1)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция , *, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Условия

при , (11.2)

при которых функция принимает заданное значение в заданной точке , называют начальным условием.

Общим решением уравнения (11.1) в некоторой области плоскости называется функция , зависящая от и произвольной постоянной и обладающая следующими свойствами:

1. она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной ;

2. при любых начальных условиях (11.2) таких, что , существует единственное значение постоянной такое, что функция удовлетворяет данному начальному условию .

Частным решением уравнения (11.1) в области называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши.

Пример 1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Имеем

.

Подставим и в левую часть уравнения:

.

Получили тождество . Следовательно, функция является решением данного уравнения.

Пример 2. Показать, что функция служит решением дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. Находим , . подставив выражение для и в данное уравнение, получим

,

т.е. функция действительно является решением данного дифференциального уравнения.

Пример 3. Проверить, что функция , определяемая уравнением , является решением дифференциального уравнения .

Решение. Продифференцируем обе части равенства по переменной с учетом того, что ; тогда получим

, или , откуда .

Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей .

Решение. Дифференцируя данное выражение, получаем , откуда . Исключаем теперь произвольную постоянную . Для этого из последнего уравнения находим , подставляя его в данное уравнение, получим

.

Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Дифференциальное уравнение вида

, (11.3)

где , , , - непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Если ни одна из функций , , , тождественно не равна нулю, то в результате деления уравнения (11.3) на оно приводится к виду

.

Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению

,

которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3)*.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

и выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Решение. Данное уравнение можно переписать в виде

или .

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при - функция только от , коэффициент при - функция только от ).

Интегрируя, получим общее решение

.

Полагая в нем , , находим . Таким образом, частное решение, проходящее через точку - .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так:

,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение , получим

.

Интегрируя это уравнение, находим

или

,

откуда получаем общее решение:

.

Уравнение вида

.

называется однородным.

С помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, оно преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

Уравнение

, (11.4)

для которого

преобразованием

где постоянные и находятся из системы уравнений

сводится к однородному уравнению.

При преобразованием уравнение (11.4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на , получим:

.

Делаем подстановку , где - новая неизвестная функция. Тогда и уравнение приводится к виду

или .

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получаем

2 arctg z - 3 ln(1+ z²)= ln + C.

Заменяя на , получим общее решение данного уравнения:

или .

Пример 8. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Это уравнение вида (11.4):

,

при этом .

Вводим новые переменные , ,

где и должны удовлетворять системе уравнений

Решая эти уравнения, находим , .

Таким образом, , ; , .

Исходное уравнение преобразуется к виду

или

.

В полученном однородном уравнении положим , откуда ; приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Преобразуем последнее уравнение:

.

Разделяя переменные, получим

.

Пользуясь формулой

,

из последнего уравнения находим

или .

Отсюда

.

Подставляя сюда , получим

или .

Перейдем к переменным и по формулам , :

.

Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на , получим общее решение исходного уравнения:

.

Уравнение вида

, (11.5)

где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка ( и входят в первых степенях, не перемножаясь между собой).

Если , то уравнение (11.5) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (11.5) называется линейным неоднородным уравнением.

Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных:

; ; ,

или, наконец,

,

где - произвольная постоянная.

Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернулли в виде

.

Подстановка выражений для и в уравнение (11.5) приводит его к виду

.

В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению

,

тогда функция определяется из уравнения

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая

,

где - некоторая дифференцируемая функция от .

Для нахождения нужно подставить в исходное уравнение (11.5), что приводит к уравнению

.

Отсюда

,

где - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (11.6)

где - действительное число. В случае , уравнение (11.6) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки

.

Пример 9. Найти общее решение уравнения

.

Выделить решение, удовлетворяющее условию .

Решение. Разделим переменные в данном уравнении:

.

Интегрируя, получим

или .

Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид

; ; .

Пример 10. Решить уравнение

.

Решение. Разделив левую и правую части данного уравнения на , приходим к линейному неоднородному уравнению:

.

Применим метод Бернулли. Пусть , тогда и уравнение примет вид

.

Положим

или .

Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при

и .

При этом данное уравнение обратится в уравнение

или .

Решая это уравнение, получим

.

Таким образом, окончательно имеем

.

Пример 11. Решить уравнение

при начальном условии .

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

.

Разделив переменные, получим

, , .

Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде

,

где - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение и , придем к уравнению

или

откуда

.

Интегрируя по частям при , и , , получим

.

Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения

.

Используя начальное условие , получим , откуда . Следовательно, искомое решение задачи Коши .

Пример 12. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Преобразовав уравнение к виду

,

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с . С помощью подстановки

, ,

данное уравнение приводится к линейному

.

Решая однородное уравнение

, , ,

получаем .

Ищем решение неоднородного уравнения в виде

, .

Подставляем в уравнение

или .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

, .

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

,

или, после замены ,

.

Уравнение вида

, (11.7)

где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции в некоторой области , называется уравнением в полных дифференциалах.

Его можно записать в виде

,

где - такая функция, что . Отсюда следует, что общее решение уравнения (11.7) имеет вид . Решение сводится к отысканию функции .

Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области , в которой функции и определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные и , было выполнено условие

. (11.8)

В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде

или

, (11.9)

где - произвольная фиксированная точка области .

Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию , которая называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится, когда он зависит только от , т.е. , или только от , т.е. . Первый из этих случаев имеет место, если соотношение

является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

(11.10)

Второй случай имеет место, если соотношение

является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

. (11.11)

Пример 13. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Здесь , , , ; таким образом, условие (11.8) выполнено, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем общее решение по формуле (11.9), взяв , :

или .

Подставляя пределы, находим

или ,

где .

Пример 14. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Здесь , , так что , , т.е. условие (11.8) не выполняется. Проверим, существует ли для данного уравнения интегрирующий множитель. Поскольку

,

то интегрирующий множитель вычисляется по формуле (11.10):

.

Умножив обе части исходного уравнения на , получаем уравнение

,

которое, как нетрудно проверить, является уравнением в полных дифференциалах.

Решим это уравнение. Полагая , и используя формулу (11.9), имеем

,

т.е.

или .

Это и есть общее решение данного уравнения.