![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравненияСтр 1 из 4Следующая ⇒ Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение вида
где Если это уравнение можно разрешить относительно
и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Условия
при которых функция Общим решением уравнения (11.1) в некоторой области 1. она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной 2. при любых начальных условиях (11.2) таких, что Частным решением уравнения (11.1) в области Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши. Пример 1. Показать, что функция Решение. Имеем
Подставим
Получили тождество Пример 2. Показать, что функция Решение. Находим
т.е. функция Пример 3. Проверить, что функция Решение. Продифференцируем обе части равенства
Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей Решение. Дифференцируя данное выражение, получаем
Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей. Дифференциальное уравнение вида
где Если ни одна из функций
Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3)*. Пример 5. Найти общее решение уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку Решение. Данное уравнение можно переписать в виде
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при Интегрируя, получим общее решение
Полагая в нем Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так:
откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение
Интегрируя это уравнение, находим или
откуда получаем общее решение:
Уравнение вида
называется однородным. С помощью подстановки Уравнение
для которого преобразованием где постоянные сводится к однородному уравнению. При Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на
Делаем подстановку
Разделяем переменные:
Интегрируя, получаем 2 arctg z - 3 ln(1+ z2)= ln Заменяя
Пример 8. Найти общее решение уравнения
Решение. Это уравнение вида (11.4):
при этом Вводим новые переменные где Решая эти уравнения, находим Таким образом, Исходное уравнение преобразуется к виду или
В полученном однородном уравнении положим
Преобразуем последнее уравнение:
Разделяя переменные, получим
Пользуясь формулой
из последнего уравнения находим
Отсюда
Подставляя сюда
Перейдем к переменным
Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на
Уравнение вида
где Если Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных:
или, наконец,
где Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернулли в виде
Подстановка выражений для
В качестве
тогда функция
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая
где Для нахождения
Отсюда
где
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где
Пример 9. Найти общее решение уравнения
Выделить решение, удовлетворяющее условию Решение. Разделим переменные в данном уравнении:
Интегрируя, получим
Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид
Пример 10. Решить уравнение
Решение. Разделив левую и правую части данного уравнения на
Применим метод Бернулли. Пусть
Положим
Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при
При этом данное уравнение обратится в уравнение
Решая это уравнение, получим
Таким образом, окончательно имеем
Пример 11. Решить уравнение при начальном условии Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
Разделив переменные, получим
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде
где или откуда
Интегрируя по частям при
Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения
Используя начальное условие Пример 12. Найти общее решение уравнения
Решение. Преобразовав уравнение к виду
убеждаемся, что это уравнение Бернулли с
данное уравнение приводится к линейному
Решая однородное уравнение
получаем Ищем решение неоднородного уравнения в виде
Подставляем в уравнение
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
или, после замены
Уравнение вида
где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции Его можно записать в виде
где Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области
В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде или
где Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию Интегрирующий множитель легко находится, когда он зависит только от является функцией только от
Второй случай имеет место, если соотношение является функцией только от
Пример 13. Найти общее решение уравнения
Решение. Здесь Найдем общее решение по формуле (11.9), взяв
Подставляя пределы, находим
где Пример 14. Найти общее решение уравнения
Решение. Здесь
то интегрирующий множитель вычисляется по формуле (11.10):
Умножив обе части исходного уравнения на
которое, как нетрудно проверить, является уравнением в полных дифференциалах. Решим это уравнение. Полагая
т.е.
Это и есть общее решение данного уравнения.
|