Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение

, (11.13)

где коэффициенты , , …, , - некоторые действительные числа, называется линейным однородным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (11.13) определяется формулой

,

где , , …, - его линейно независимые частные решения.

Для нахождения частных решений уравнения (11.13) составляют характеристическое уравнение

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение

имеет действительные корни , . В соответствии с п.1 общее решение записывается в виде

.

Пример 19. Найти решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение

имеет равные корни . В соответствии с п.2 получаем общее решение исходного уравнения в виде

.

Пример 20. Решить уравнение

.

Решение. Имеем:

, , .

На основании п. 3 получаем общее решение уравнения:

.

Пример 21. Решить уравнение

.

Решение. Здесь характеристическое уравнение

имеет различные действительные корни , , , поэтому общим решением исходного уравнения в соответствии с п.1 будет

.

Пример 22. Найти решение уравнения

.

Решение. Имеем соответствующее характеристическое уравнение

, , .

Поэтому согласно п.4 общее решение имеет вид

.

Дифференциальное уравнение

(11.15)

называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

.

Имеем характеристическое уравнение

.

Ему соответствуют корни и . Тогда общее решение однородного уравнения:

.

Применим метод вариации постоянных. Для этого решение данного неоднородного уравнения ищем в виде

.

Для определения функций , записываем систему уравнений (11.16):

Решая ее (т.к. решение ищем в окрестности точки , то ), получаем

, .

Интегрируя, находим

, .

Записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения

.

Используя начальные условия, определяем константы и . Т.к.

,

то . Т.к.

,

то . Таким образом, решением задачи Коши является

.

В простейших случаях частное решение может быть найдено с помощью метода неопределенных коэффициентов. Этот метод применим только в том случае, если правая часть уравнения (11.15) имеет специальный вид. Укажем возможные случаи и соответствующие им виды частных решений:

1. , где - полином от , который может, в частности, быть заданным постоянным числом, отличным от нуля. Тогда частное решение неоднородного уравнения (11.15) можно найти в виде , где - полином той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, а - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

2. , где - полином от . Тогда частное решение следует искать в виде , где - полином той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения, равных .

3. , где и - полиномы от . (Эти полиномы, в частности, могут быть постоянными числами, и один из них – тождественным нулем). Пусть - наивысшая из степеней полиномов и . Тогда частное решение следует искать в виде

,

где , - полиномы степени с неопределенными коэффициентами, - число корней характеристического уравнения, равных .

4. , где , , …, - функции вида, рассмотренного в п.п. 1-3. Если , , …, - частные решения, соответствующие функциям , , …, ,

то является частным решением уравнения (11.15).

Пример 24. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению имеет вид

.

Его корнями являются . Им соответствует общее решение

.

Согласно п.1 частное решение ищем в виде

,

где и - неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , , , находим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства:

: ;

: ,

находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение

.

Пример 25. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение

,

получаем корни , . Следовательно,

.

Перейдем к отысканию частного решения исходного уравнения. Здесь правая часть имеет вид , т.е. соответствует п. 2 с , . Т.к. число не является корнем характеристического уравнения, то k =0 . Следовательно, частное решение нужно искать в виде

,

где , и - некоторые неизвестные коэффициенты. Для их отыскания воспользуемся тем, что должно быть решением исходного уравнения. Найдем и :

,

;

теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

.

Сокращая обе части полученного равенства на и группируя члены при одинаковых степенях , в результате получим

.

Это равенство тождественно выполняется только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равны между собой. Итак, для отыскания коэффициентов , и имеем следующую систему уравнений:

: ;

: ;

: .

Решая эту систему, найдем , , . Таким образом, получаем искомое частное решение

.

Теперь можно записать общее решение исходного уравнения:

.

Пример 26. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющего краевым условиям , .

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни , , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Частное решение , согласно п.3 следует искать в виде

,

т.к. , ; является простым корнем характеристического уравнения, поэтому ; кроме того, . Итак, дифференцируя дважды и подставляя производные в исходное уравнение, получим

.

Приведя подобные, получим

;

Приравнивая коэффициенты при и в правой и левой частях полученного равенства, имеем

: ,

: ,

т.е. , . Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

,

а общее решение исходного уравнения

.

Постоянные и найдем, используя краевые условия. Имеем

.

и, далее,

,

,

,

.

Таким образом,

,

,

откуда получим систему уравнений

решая которую, находим , . Таким образом, решение исходного уравнения, удовлетворяющее поставленным краевым условиям имеет вид

.

Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Находим сначала . Характеристическое уравнение

имеет корни , , поэтому

.

Переходим к нахождению . Здесь правая часть исходного уравнения представляет собой сумму функций и . Согласно п.4 будем искать частные решения , для каждой из функций в отдельности.

Функция соответствует п.1 при и . Значит

.

Дифференцируя, находим

, ,

подставляя и в левую часть исходного уравнения и приравнивая полученное выражение к , получим

,

откуда

: ,

: ,

или , . Таким образом,

.

Функция соответствует п.3 при , , . Поэтому частное решение ищем в виде

.

Дифференцируя, находим

.

Подставляя и в левую часть исходного уравнения и приравнивая полученное выражение к , имеем

или

,

откуда

: ,

: ,

т.е. , . Следовательно,

.

Итак, общее решение исходного уравнения запишется следующим образом:

.