Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

. (11.12)

Интегрирование дифференциальных уравнений -го порядка (в конечном виде) удается произвести только для некоторых частных случаев.

Решение уравнениянаходится -кратным интегрирова­нием, а именно:

, ,

,

……………………………………………………

,

где

.

Так как , , … являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано так:

.

Пример 15. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

,

,

,

.

Порядок уравнения вида

можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая . Тогда получим уравнение

.

Таким образом, порядок уравнения понижается на единиц.

Пример 16. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Поскольку уравнение не содержит , то полагая , имеем . Получаем дифференциальное уравнение

.

Разделив его на , получим линейное неоднородное уравнение

.

Решая однородное уравнение, получаем

, , .

Решаем неоднородное уравнение, например, методом вариации постоянных:

, , , .

Таким образом, решением является

.

Т.к. , имеем

.

Интегрируя, получим общее решение

или

.

Уравнение вида

допускает понижение порядка на единицу, если положить , а за новый аргумент принять сам . В этом случае , , … выразятся через и производные от по по формулам

, , …

(они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции), причем порядок уравнения понизится на единицу.

Пример 17. Найти решение уравнения

.

Решение. Положив и приняв за новую независимую переменную, получим . Тогда данное уравнение можно записать в виде

.

Полученное уравнение – с разделяющимися переменными:

или .

Интегрируя, получаем

, .

Т.к. , то приходим к следующему уравнению относительно

.

Находя интеграл, получаем

,

или окончательно

.