Системы дифференциальных уравнений

Совокупность уравнений вида

где - независимая переменная, , , …, - искомые функции, , , …, - их производные, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет следующий общий вид:

(11.17)

Совокупность функций

, , …, ,

определенных на интервале , называется решением нормальной системы уравнений (11.17), если эти функции при подстановке в уравнения системы (11.17) обращают их в тождества.

Если правые части нормальной системы (11.17) являются линейными функциями относительно неизвестных функций , , …, , то такая система называется линейной и имеет вид

Если функции , , …, тождественно равны нулю, то линейная система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Одним из основных методов нахождения решения нормальных систем является метод исключения неизвестных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению -го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример 28. Найти общее решение нормальной системы

Решение. Продифференцируем по первое уравнение:

.

Подставляя вместо правую часть второго уравнения системы, получим

.

Чтобы исключить из этого уравнения , находим из первого уравнения системы

;

следовательно,

или .

Перепишем полученное уравнение в виде

.

Это – линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Корнями соответствующего характеристического уравнения

являются и , а общим решением

,

где , - произвольные постоянные. Для нахождения используем соотношение

,

отсюда

.

Совокупность функций и является общим решением данной нормальной системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений вида

(11.18)

где ( ) – постоянные величины.

Рассмотрим однородную систему уравнений, т.е. систему, в которой все функции ,

(11.19)

Уравнение вида

(11.20)

называется характеристическим. Оно является уравнением -й степени относительно и имеет корней , , …, , которые называются характеристическими числами. Каждому корню соответствует ненулевое решение системы (11.19), а ,следовательно, и частное решение данной системы:

, , …, ;

, , …, ,

……………………………………………….

, , …, .

Различают три случая:

1. Все корни , , …, уравнения (11.20) вещественны и различны. В этом случае общее решение системы (11.19) запишется в виде

,

,

………………………………….

.

2. Корни характеристического уравнения (11.20) различны, но среди них имеются комплексные. В этом случае комплексные решения можно заменить вещественными, отделяя вещественные и мнимые части найденных функций.

3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Корню кратности соответствует решение вида

, , …, ,

где , , …, - полиномы от степени не выше (они могут вырождаться и в постоянные числа), причем среди коэффициентов всех этих полиномов коэффициентов являются произвольными, а остальные выражаются через них.

Полагая поочередно один из этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим частных решений.

Пример 29. Найти общее решение системы

Решение. Ищем частное решение системы в виде

, , .

Подставляя эти функции и их производные в уравнения системы и сокращая на , получаем систему

Составляем характеристическое уравнение (11.20), соответствующее данной системе:

,

или

.

Корни характеристического уравнения , , вещественны и различны.

Найдем частное решение, соответствующее корню . Подставляем его в данную систему:

Полагая , находим из первого и второго уравнения (третье совпадает со вторым) , . Таким образом, искомое частное решение , , .

Аналогично найдем частное решение, соответствующее корню . Подставляем его в данную систему:

Задав , из первых двух уравнений найдем , . Отсюда частное решение , , .

Найдем частное решение, соответствующее корню . Подставляем его в данную систему:

Снова отбрасывая третье уравнение, полагая и решая систему из первых двух уравнений, получим , . Корню соответствует решение , , .

Общее решение данной системы согласно п.1 имеет вид

, ,

.

Пример 30. Найти общее решение системы уравнений

Решение. Составляем характеристическое уравнение системы:

; , , , .

Корни характеристического уравнения различны и среди них есть комплексные. Построим комплексное решение вида , , соответствующее характеристическому числу . Числа и определяем из первого уравнения данной системы, подставляя в него и и сокращая на :

.

Полагая , находим , так что

, .

Согласно п.2 отделим действительную и мнимую части корня , получим два вещественных линейно независимых решения:

, ,

, .

Общим решением будет

,

.

Пример 31. Решить систему уравнений

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение

, ,

, , ,

т.е. среди корней есть кратные.

Найдем сначала частное решение вида

, , ,

соответствующее простому характеристическому числу . Числа , , определяем из решения первых двух уравнений данной системы:

Полагая , находим , , так что искомым частным решением будет , , .

Теперь построим два линейно независимых частных решения, соответствующих кратному корню . Согласно п.3, ему отвечает решение вида , , . Коэффициенты , , , , , определяются подстановкой решения в данную систему. Выполняя эту подстановку и сокращая на , имеем:

Приравнивая коэффициенты при и свободные члены, получаем систему

откуда , , , , причем и произвольны. Полагая , , находим , , , . Получаем частное решение , , .

Полагая , , находим , , , . Получаем частное решение , , .

Общим решением данной системы будет

, ,

.

Чтобы найти общее решение неоднородной системы (11.18), достаточно знать общее решение соответствующей однородной системы (11.19) и одно частное решение неоднородной системы (11.18). Сумма этих решений дает общее решение системы (11.18).

Методом вариации постоянных (методом Лагранжа) можно построить общее решение неоднородной системы, исходя только из общего решения соответствующей однородной системы. Рассмотрим его на примере.

Пример 32. Найти общее решение системы

Решение. Соответствующей однородной системой будет

Составляем характеристическое уравнение

, , .

Оно имеет корни , . Построим частное решение вида , , соответствующее корню . Подставив его в данную систему, получим первое уравнение этой системы

;

положив , находим . Поэтому характеристическому числу соответствует частное решение , .

Аналогично находим частное решение, соответствующее характеристическому числу : , , .

Общим решение однородной системы будет

,

.

Общее решение данной системы уравнений ищем в виде

,

.

Функции , находим из решения системы

Получаем , . Поэтому

, .

Следовательно, общим решением исходной системы будет

,

.

Задачи

Доказать, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению :

1.	, .	2.	, .
3.	, .	4.	, .
5.	, .
6.	, .

7. Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения следующие соотношения:

1) ; 2) .

8. Зная общее решение дифференциального уравнения , найти и построить его интегральные кривые, проходящие через точки , , .

Составить дифференциальные уравнения семейства линий:

9.	.	10.	.	11.	.
12.	.	13.	.	14.	.
15.	.	16.	.	17.	.

Решить уравнения с разделяющимися переменными:

18.	.	19.	.
20.	.	21.	.
22.	.	23.	.
24.	.	25.	.

Решить задачу Коши для уравнений с разделяющимися переменными:

26.	, .	27.	, .
28.	, .	29.	, .
30.	, .	31.	, .
32.	, .	33.	, .

Решить однородные дифференциальные уравнения:

34.	.	35.	.
36.	.	37.	.
38.	.	39.	.
40.	.	41.	.

Решить задачу Коши для однородных дифференциальных уравнений:

42.	, .
43.	, .
44.	, .

Решить линейные уравнения:

45.	.	46.	.
47.	, .	48.	.
49.	, .	50.	.

Решить уравнения Бернулли:

51.	.	52.	.
53.	, .	54.	.

Решить уравнения в полных дифференциалах:

55.	.	56.	.
57.	.
58.	.

Решить уравнения, имеющие интегрирующий множитель, зависящий только от или только от :

59.

.

60.

.

Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

61.	.	62.	.
63.	.	64.	.
65.	.	66.	.
67.	.	68.	.
69.	, , .	70.	.

Решить линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:

71.	.	72.	.	73.	.
74.	.	75.	.	76.	.
77.	.	78.	.	79.	.
80.	.	81.	.	82.	.

Решить неоднородные уравнения:

83.	.	84.	.
85.	.	86.	.
87.	.	88.	.
89.	.	90.	.
91.	.	92.	, , .

Методом исключения неизвестных решить системы уравнений:

93.

94.

Решить системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

95.		96.		97.
98.		99.
100.

Методом вариации постоянных решить неоднородные системы уравнений:

101.

102.

Задание 11.1. Найти решение дифференциального уравнения:

1.	а)	, .		б)	.
2.	а)	, .		б)	.
3.	а)	, .		б)	.
4.	а)	, .		б)	.
5.	а)	, .		б)	.
6.	а)	, .		б)	.
7.	а)	, .		б)	.
8.	а)	, .		б)
9.	а)	, .		б)	.
10.	а)	, .		б)	.
11.	а)	, .		б)	.
12.	а)	, .		б)	.
13.	а)	, .		б)	.
14.	а)	, .		б)
15.	а)	, .		б)	.
16.	а)	, .		б)	.
17.	а)	, .		б)	.
18.	а)	, .		б)	.
19.	а)	, .		б)	.
20.	а)	, .		б)	.
21.	а)	, .		б)	.
22.	а)	, .		б)	.
23.	а)	, .		б)	.
24.	а)	, .		б)	.
	а)	, .		б)	.

Задание 11.2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1.	а)	.		б)	.
2.	а)	.		б)	.
3.	а)	.		б)	.
4.	а)	.		б)	.
5.	а)	.		б)	.
6.	а)	.		б)	.
7.	а)	.		б)	.
8.	а)	.		б)	.
9.	а)	.		б)	.
10.	а)	.		б)	.
11.	а)	.		б)	.
12.	а)	.		б)	.
13.	а)	.		б)	.
14.	а)	.		б)	.
15.	а)	.		б)	.
16.	а)	.		б)	.
17.	а)	.		б)	.
18.	а)	.		б)	.
19.	а)	.		б)	.
20.	а)	.		б)	.
21.	а)	.		б)	.
22.	а)	.		б)	.
23.	а)	.		б)	.
24.	а)	.		б)	.
25.	а)	.		б)	.

Задание 11.3. Найти решение дифференциального уравнения:

1.	а)	, .		б)	.
2.	а)	Поделиться: Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 135; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав ⇐ Предыдущая1234